Векторы a→, b→ и c→ расположены на разных ребрах куба, не находящихся в одной плоскости. Точка E делит ребро AB таким

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться методом разложения векторов по базису. Давайте посмотрим на векторы a→, b→ и c→ и разложим векторы DE−→ и EF−→ по этим векторам.

Для начала, давайте определим координаты точек A, B, C, C1, D, E и F на соответствующих ребрах куба. Выберем начало координат в таком месте, чтобы одно из ребер куба совпадало с осью x, другое ребро – с осью y, а третье ребро – с осью z.

Пусть вектор a→ задается координатами (a₁, a₂, a₃), вектор b→ – координатами (b₁, b₂, b₃), и вектор c→ – координатами (c₁, c₂, c₃).

Теперь найдем координаты точек E и F с помощью отношений заданных в условии задачи:
1. Для точки E: пусть координаты точки E равны (x, y, z). Тогда точка E делит отрезок AB в отношении 7:3. Мы можем это выразить следующим образом:
\[\frac{{x - a₁}}{{a₂ - x}} = \frac{7}{3}\]

Решая данное уравнение, получим:
\[\frac{{x - a₁}}{{a₂ - x}} = \frac{7}{3} \Rightarrow 3(x - a₁) = 7(a₂ - x) \Rightarrow 3x - 3a₁ = 7a₂ - 7x \Rightarrow 10x = 10a₁ + 7a₂ \Rightarrow x = \frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}}\]

Заметим, что координата z точки E равна z = 0, так как точка E находится на ребре куба, параллельном плоскости xy.
Тогда итоговые координаты точки E равны \(\left(\frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}}, y, 0\right)\).

2. Аналогично, для точки F: пусть координаты точки F равны (u, v, w). Тогда точка F делит отрезок CC1 в отношении 3:5:
\[\frac{{u - c₁}}{{c₁ - u}} = \frac{3}{5}\]

Решая данное уравнение, получим:
\[\frac{{u - c₁}}{{c₁ - u}} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5(u - c₁) = 3(c₁ - u) \Rightarrow 5u - 5c₁ = 3c₁ - 3u \Rightarrow 8u = 8c₁ \Rightarrow u = c₁\]

Заметим, что координата v точки F равна v = 0, так как точка F находится на ребре куба, параллельном плоскости xy.
Также, поскольку точка F находится на ребре, параллельном плоскости xz, то координата w точки F равна w = 0.
Тогда итоговые координаты точки F равны (c₁, 0, 0).

Теперь разложим векторы DE−→ и EF−→ по векторам a→, b→.
Чтобы разложить вектор DE−→ по векторам a→, b→, мы должны найти скаляры m и n такие, что:
\[\vec{{DE}} = m\vec{{a}} + n\vec{{b}}\]

Разложение вектора EF−→ будет аналогичным:
\[\vec{{EF}} = p\vec{{a}} + q\vec{{b}}\]

Для нахождения этих скаляров, нам нужно выразить векторы DE−→ и EF−→ через координаты точек D, E, F и их разности:
\[\vec{{DE}} = (e₁ - d₁, e₂ - d₂, e₃ - d₃)\]
\[\vec{{EF}} = (f₁ - e₁, f₂ - e₂, f₃ - e₃)\]

Теперь, с учетом найденных координат точек E и F, разложим векторы DE−→ и EF−→ по базису a→, b→:
\[\vec{{DE}} = \left(\frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}} - d₁, y - d₂, -d₃\right) = m\vec{{a}} + n\vec{{b}}\]
\[\vec{{EF}} = (c₁ - \frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}}, -d₂, -d₃) = p\vec{{a}} + q\vec{{b}}\]

Теперь нам нужно выразить каждую из координат векторов DE−→ и EF−→ через m, n, p и q. Для этого представим вектор DE−→ в виде суммы векторов a→ и b→:
\[\vec{{DE}} = \left(\frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}}, 0, 0\right) + (0, y - 0, 0)\]

Теперь сравниваем каждую компоненту полученного выражения с компонентами вектора DE−→, и получаем следующие уравнения:
\[\frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}} - d₁ = ma₁\]
\[y - d₂ = ma₂\]
\[-d₃ = ma₃\]

Аналогично, представим вектор EF−→ в виде суммы векторов a→ и b→:
\[\vec{{EF}} = (c₁ - 0, -d₂ - 0, -d₃ - 0) + (0, 0, 0)\]

Опять сравниваем каждую компоненту полученного выражения с компонентами вектора EF−→, и получаем следующие уравнения:
\[c₁ - \frac{{10a₁ + 7a₂}}{{10}} = pc₁\]
\[-d₂ = pa₂\]
\[-d₃ = pa₃\]

Теперь решим полученную систему уравнений для нахождения скаляров m, n, p и q.