Какова площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 и биссектриса угла делит его диагональ в отношении 2:7?

Чтобы найти площадь прямоугольника в данной задаче, нам понадобится сначала определить его размеры. Давайте начнем с построения уравнений, используя информацию из условия задачи.

Периметр прямоугольника составляет 108, что означает, что сумма всех сторон равна 108. Поскольку прямоугольник имеет две пары параллельных сторон, давайте обозначим длину вертикальных сторон через \(a\) и горизонтальных сторон через \(b\).

Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[
2a + 2b = 108\quad \text{(1)}
\]

Также известно, что биссектриса угла делит диагональ прямоугольника в отношении 2:7. Пусть \(x\) будет длиной одной части диагонали, а \(y\) - длиной другой части диагонали. Тогда мы можем записать:

\[
x:y = 2:7\quad \text{(2)}
\]

Теперь, чтобы перейти к решению, нам нужно получить выражение для площади прямоугольника. Площадь прямоугольника определяется как произведение его двух сторон \(S = a \cdot b\).

Чтобы найти \(a\) и \(b\), решим систему уравнений (1) и (2). Для начала, умножим (2) на \(x\) и \(y\), чтобы избавиться от отношения:

\[
2x = 7y\quad \text{(3)}
\]

Теперь у нас есть система из уравнений (1) и (3). Мы можем решить ее с помощью метода подстановки, избавившись от одной переменной.

Используя уравнение (3), мы можем выразить \(x\) через \(y\):

\[
x = \frac{7}{2}y\quad \text{(4)}
\]

Подставим это значение \(x\) в уравнение (1):

\[
2\left(\frac{7}{2}y\right) + 2b = 108
\]

\[
7y + 2b = 108
\]

Теперь мы можем выразить \(b\) через \(y\):

\[
b = \frac{108 - 7y}{2}\quad \text{(5)}
\]

Теперь у нас есть выражение для \(b\) через \(y\). Давайте подставим его обратно в уравнение (4), чтобы получить выражение для \(x\):

\[
x = \frac{7}{2} \cdot y\quad \text{(6)}
\]

Теперь у нас есть выражения для \(x\) и \(b\) через \(y\). Мы можем использовать их, чтобы получить выражение для площади \(S\).

\[
S = a \cdot b
\]

Заменим \(b\) в этом выражении согласно уравнению (5):

\[
S = a \cdot \frac{108 - 7y}{2}
\]

Теперь мы можем выразить \(S\) только через \(y\). Пусть это будет уравнением (7):

\[
S = \frac{a}{2} \cdot (108 - 7y)\quad \text{(7)}
\]

Теперь осталось найти определенное значение \(S\).

Вторая часть условия говорит нам, что биссектриса угла делит диагональ в отношении 2:7. Нам нужно найти отношение длины одной части диагонали к длине другой, чтобы использовать это в нашем уравнении. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из полу-диагонали прямоугольника, биссектрисы и одной из сторон прямоугольника (см. рисунок ниже), то мы можем использовать теорему Пифагора для определения отношения:

\[
\left(\frac{7y}{2}\right)^2 = x^2 + (\frac{108-7y}{2})^2
\]

\[
\frac{49y^2}{4} = x^2 + \frac{(108-7y)^2}{4}
\]

\[
49y^2 = 4x^2 + (108-7y)^2
\]

Теперь мы можем заменить \(x\) согласно уравнению (6):

\[
49y^2 = 4\left(\frac{7}{2}y\right)^2 + (108-7y)^2
\]

\[
49y^2 = 4\left(\frac{49}{4}y^2\right) + (108-7y)^2
\]

\[
49y^2 = 49y^2 + (108-7y)^2
\]

\[
0 = (108-7y)^2
\]

Теперь мы можем решить это уравнение:

\[
108-7y = 0
\]

\[
7y=108
\]

\[
y=15.43 \quad\text{(как приближенное значение)}
\]

Теперь, когда у нас есть значение \(y\), мы можем найти \(x\) согласно уравнению (6):

\[
x = \frac{7}{2} \cdot y
\]

\[
x = \frac{7}{2} \cdot 15.43 ≈ 53.901
\]

Теперь у нас есть значения \(x\) и \(y\), и мы можем найти площадь прямоугольника \(S\) согласно уравнению (7):

\[
S = \frac{a}{2} \cdot (108 - 7y)
\]

Заменим значения \(x\) и \(y\) в уравнении:

\[
S = \frac{a}{2} \cdot (108 - 7 \cdot 15.43)
\]

\[
S ≈ \frac{a}{2} \cdot 2
\]

\[
S ≈ a
\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна длине его вертикальной стороны \(a\).