Variant II 1. Figure 4.245. Given: Z AOD = 90°, 2 OAD = 70°, 2 OCB = 20°. Prove: AD is parallel to BC. 2. In triangle

1. Дано: \( \angle AOD = 90^\circ \), \( \angle OAD = 70^\circ \), \( \angle OCB = 20^\circ \). Доказать: AD параллельно BC.

Для доказательства того, что AD параллельно BC, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника и свойство вертикальных углов.

У нас есть следующие углы:
\( \angle AOD = 90^\circ \) (дано)
\( \angle OAD = 70^\circ \) (дано)
\( \angle OCB = 20^\circ \) (дано)

Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как угол AOD прямой (90°), то сумма углов OAD и ODA должна быть 90°. Таким образом, \( \angle ODA = 20^\circ \).

Мы также знаем, что вертикальные углы равны. Так как \( \angle ODA = \angle OCB \) (вертикальные углы), то \( \angle OCB = 20^\circ \).

Теперь обратимся к треугольнику AOD. У нас есть два угла: \( \angle OAD = 70^\circ \) и \( \angle ODA = 20^\circ \). Сумма этих двух углов равна 90°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол, \( \angle ADO \), также равен 90°.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике AOD два угла равны 90°. По свойству треугольника, третий угол должен быть прямым. Поскольку угол AOD прямой, то третий угол, \( \angle ADO \), также прямой.

Теперь рассмотрим треугольник BOC. У нас есть угол \( \angle OCB = 20^\circ \) и угол BCO, который также равен 20° (вертикальные углы). Сумма этих двух углов равна 40°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол, \( \angle BCO \), равен \( 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

Теперь сравним уголы BC и AD. У нас есть \( \angle BCO = 50^\circ \) и \( \angle ADO = 90^\circ \). Поскольку углы BC и AD являются соответственными углами треугольников BOC и AOD, и их сумма равна 90°, мы можем сделать вывод, что BC параллельно AD.

Таким образом, мы доказали, что AD параллельно BC. \(\blacksquare\)

2. В треугольнике ABC дано: \(ZC = 90^\circ\), CC - высота, CC = 5 см, BC = 10 см. Найдите \(ZCAV\).

Для нахождения угла ZCAV мы можем использовать соотношение гипотенузы, катета и высоты в прямоугольном треугольнике.

У нас есть следующие данные: CC = 5 см и BC = 10 см.

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника ABC:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2 \Rightarrow AB^2 = 10^2 + 5^2 \Rightarrow AB^2 = 100 + 25 = 125\]

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
\[AB = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACV. У нас есть гипотенуза AV = AB = 5\(\sqrt{5}\) и катет CC = 5.

Используем тригонометрический соотношение:
\[\sin(ZCAV) = \frac{CC}{AV} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Находим значение угла ZCAV:
\[ZCAV = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\]

Вычислим через калькулятор или таблицы синусов, и получим значение угла ZCAV.

3. Чтобы построить равнобедренный треугольник, используя основание и медиану, следуйте этим шагам:

- Нарисуйте отрезок AB, который будет служить основанием треугольника.
- Возьмите циркуль и нарисуйте окружность, центр которой находится на отрезке AB.
- Установите расстояние циркуля таким образом, чтобы он пересекал отрезок AB и медиану в одной точке C.
- Сделайте два отрезка CA и CB, которые соединяются с точками пересечения окружности с отрезком AB.
- Треугольник ABC будет равнобедренным, где AC = BC.

4*. Чтобы построить угол, равный 120°, используя циркуль и линейку, следуйте этим шагам:

- Нарисуйте прямую линию AB с помощью линейки.
- Установите конец линейки на точке A и отметьте точку C на линии AB.
- Устанавливайте расстояние между кончиками циркуля таким образом, чтобы он пересекал линию AB в точке C и на линии AC образовывал угол с длиной дуги 120°.
- Соедините точки A и C прямой линией.
- Угол BAC будет равен 120°.

Пожалуйста, учтите, что вам понадобятся точный циркуль и линейка, чтобы выполнить эти построения.