Variant 2. 1. Identify the true statements. 1) There are two possible cases of the mutual arrangement of planes

1. Нам дано несколько утверждений о взаимном расположении плоскостей. Нам нужно определить, какие из этих утверждений являются истинными.

Утверждение 1 гласит, что существует два возможных случая взаимного расположения плоскостей: а) две плоскости пересекаются по прямой линии и б) две плоскости параллельны.
Утверждение 2 утверждает, что если две пересекающиеся линии одной плоскости соответственно параллельны двум линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Утверждение 3 утверждает, что две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

A) 1; 2; 3;
B) 1; 2;
C) 1; 3;
D) 2; 3.

1) Утверждение 1 верное, так как действительно существуют два возможных случая взаимного расположения плоскостей.
2) Утверждение 2 также верное, так как если условие о параллельности линий плоскостей выполняется, то это означает, что плоскости параллельны.
3) Утверждение 3 также верное, так как плоскости, не пересекающиеся, действительно могут считаться параллельными.

Исходя из этого, правильный ответ будет A) 1; 2; 3;

2. В фигуре 1 даны точки: E - середина отрезка AM, K - середина отрезка BM, P - середина отрезка CM. Площадь треугольника ABC равна 120 см². Найдите площадь треугольника EKR.

Чтобы найти площадь треугольника EKR, нам понадобится информация о положении точек E, K и P и связях между ними.

Поскольку точки E, K и P являются серединами отрезков, мы можем сказать, что отрезки AE, EK, BK, KP, PC, и CM равны друг другу. Это свойство называется "средняя линия треугольника".

Теперь обратимся к треугольнику EKR. У нас есть середины отрезков EK и KR (так как точка M является серединой BK). Поэтому мы можем сказать, что отрезки EK и KR в два раза короче, чем соответствующие стороны треугольника ABC.

Площадь треугольника связана с длинами его сторон. Давайте обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, а стороны треугольника EKR как x, y и z.

Теперь мы знаем, что сторона EK = KR = 1/2 * b и сторона RK = 1/2 * c. Таким образом, сторона EK = RK = 1/2 * b, а сторона EK = x и сторона KR = z.

Используем пропорцию сторон для нахождения отношения площадей:

\[\frac{{\text{{Площадь треугольника EKR}}}}{{\text{{Площадь треугольника ABC}}}} = \left(\frac{{\text{{сторона EK}}}}{{\text{{сторона AB}}}}\right)^2\]

Подставим значения:

\[\frac{{\text{{Площадь треугольника EKR}}}}{{120}} = \left(\frac{{\frac{1}{2}b}}{{a}}\right)^2\]

Учитывая, что сторона AB = a, заменим длины сторон:

\[\frac{{\text{{Площадь треугольника EKR}}}}{{120}} = \left(\frac{{\frac{1}{2}b}}{{a}}\right)^2\]

Теперь сведем к общему знаменателю и возвели в квадрат:

\[\frac{{\text{{Площадь треугольника EKR}}}}{{120}} = \left(\frac{{b}}{{2a}}\right)^2\]

Раскрыв скобки и упростив, получим:

\[\frac{{\text{{Площадь треугольника EKR}}}}{{120}} = \frac{{b^2}}{{4a^2}}\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника EKR, умножив обе стороны на 120:

\[\text{{Площадь треугольника EKR}} = \frac{{120b^2}}{{4a^2}}\]

Упростим дробь:

\[\text{{Площадь треугольника EKR}} = \frac{{30b^2}}{{a^2}}\]

Итак, площадь треугольника EKR равна \(\frac{{30b^2}}{{a^2}}\) квадратных сантиметров.