Вариант 1: Select the corresponding option from choices 1-3 for problems 1-3: 1) Take out the common factor 25x

Решение:

1) Для задачи 1 нам нужно вынести общий множитель из выражения 25x + 5xy. Общий множитель здесь будет 5x, поскольку он присутствует в обоих членах выражения. Таким образом, ответом будет b) 5x(5+x).

Обоснование: Когда мы вынимаем общий множитель из выражения, мы фактически делим каждый член выражения на общий множитель. В данном случае, если мы разделим каждый член 25x и 5xy на 5x, то получим: 25x/(5x) + 5xy/(5x) = 5 + y. В итоге мы получаем ответ b) 5x(5+x).

2) В задаче 2 нам нужно раcкладывать на множители выражение 12a^3k^2 - 6a^4k + 3a^6k^5. Для этого мы можем вынести общий множитель, если он есть, и затем раскладывать полученное выражение на множители.

Посмотрим на каждый член выражения и попытаемся вынести общий множитель:
12a^3k^2 - 6a^4k + 3a^6k^5 = (6a^3k^2) * 2 - (3a^4k) * 2a + (3a^6k^5) * 1.
Мы видим, что общий множитель здесь это 2a. Таким образом, ответом будет a) 3a^3k(4k - 2a + a^3k^4).

Обоснование: Если мы вынесем общий множитель 2a, то получим: 2a(6a^3k^2 - 3a^4k + 3a^6k^5). После этого мы можем преобразовать каждый член в скобках через разложение на множители. В результате получим ответ a) 3a^3k(4k - 2a + a^3k^4).

3) В задаче 3 нам нужно раскрыть скобки в выражении mn + mt + 2n + 2t. Просто сложим все члены вместе, чтобы получить: mn + mt + 2n + 2t = m(n + t) + 2(n + t).
Обратите внимание, что внутри скобок у нас есть общий множитель - (n + t). Поэтому мы можем вынести его за скобки: (n + t)(m + 2).
Ответом будет d) (n + t)(m + 2).

Обоснование: Если мы раскроем скобки mn + mt + 2n + 2t, то получим m(n + t) + 2(n + t). Затем мы можем объединить оба члена через общий множитель (n + t). В итоге мы получаем ответ d) (n + t)(m + 2).

4) В задаче 4 нам нужно упростить выражение (a-b)(a+b) - 2(a^2 - b^2). Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
(a-b)(a+b) - 2(a^2 - b^2) = a^2 - ab + ab - b^2 - 2a^2 + 2b^2.
Теперь объединим подобные слагаемые:
a^2 - ab + ab - b^2 - 2a^2 + 2b^2 = (a^2 - 2a^2) + 2b^2 + (- ab + ab) - b^2.
Раскрываем скобки:
(a^2 - 2a^2) + 2b^2 + (- ab + ab) - b^2 = -a^2 + b^2.
Таким образом, упрощенное выражение равно -a^2 + b^2.

5) В задаче 5 нам нужно записать выражение 4n^2 + 4n + 1 в виде квадратного бинома.
Заметим, что первые два члена данного выражения 4n^2 и 4n могут быть записаны в виде (2n)^2 и 2 * (2n), соответственно.
Таким образом, мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
4n^2 + 4n + 1 = (2n)^2 + 2 * (2n) + 1.
Далее, заметим, что полученное выражение соответствует формуле \((a+b)^2\), где \(a=2n\) и \(b=1\). Поэтому ответом будет:
\((2n+1)^2\).

Для задач 6-8, необходимо задать уточняющий вопрос или повторить условие каждой задачи.