Какая площадь прямоугольника, если его диагональ в 1,25 раза больше одной из сторон и на 8 см больше другой стороны?

Хорошо, давайте начнем с предоставления пошагового решения этой задачи.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\), где \(a\) - это большая сторона, а \(b\) - меньшая сторона. Мы знаем, что диагональ прямоугольника равна 1,25 раза большей стороны, то есть \(1.25a\). Также известно, что меньшая сторона на 8 см больше другой стороны, то есть \(b = a + 8\).

У нас есть два уравнения, связывающих стороны прямоугольника и его диагональ:

\[
(a^2 + (a + 8)^2) = (1.25a)^2
\]

Теперь выполним расчеты:

\[
a^2 + (a + 8)^2 = 1.5625a^2 \quad \text{(возводим \(1.25a\) в квадрат)}
\]

\[
a^2 + (a^2 + 16a + 64) = 1.5625a^2 \quad \text{(раскрываем скобки)}
\]

\[
2a^2 + 16a + 64 = 1.5625a^2 \quad \text{(сокращаем подобные слагаемые)}
\]

\[
0.5625a^2 + 16a + 64 = 0 \quad \text{(переносим все в левую часть уравнения)}
\]

Далее мы можем решить квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(a\):

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 0.5625\), \(b = 16\) и \(c = 64\).

\[
D = 16^2 - 4 \cdot 0.5625 \cdot 64
\]

\[
D = 256 - 144
\]

\[
D = 112
\]

Теперь найдем значения \(a\) с использованием формулы корней:

\[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
a_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 0.5625}
\]

\[
a_{1} = \frac{-16 + \sqrt{112}}{2 \cdot 0.5625} \approx 11.82
\]

\[
a_{2} = \frac{-16 - \sqrt{112}}{2 \cdot 0.5625} \approx -28.08
\]

Мы получили два значения для \(a\), однако нам интересно только положительное значение. Таким образом, \(a \approx 11.82\).

Теперь найдем \(b\) с использованием уравнения \(b = a + 8\):

\[
b = 11.82 + 8 = 19.82
\]

Таким образом, стороны прямоугольника приближенно равны \(a \approx 11.82\) и \(b \approx 19.82\).

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, используя формулу: площадь равна произведению его сторон:

\[
\text{Площадь} = a \cdot b \approx 11.82 \cdot 19.82 \approx 234.02
\]

Таким образом, площадь прямоугольника составляет около 234.02 квадратных сантиметров.