Вариант 1 1. Представляет ли пара чисел (2; 4) решение следующей системы уравнений: (3+y=x - 3, х? + (у + 6)?

Решение задачи:

1. Чтобы узнать, является ли пара чисел (2; 4) решением системы уравнений, подставим их в уравнения и проверим их правильность:

Уравнение 1: \(3+y=x - 3\)
Подставляем x = 2, y = 4:
\(3+4=2 - 3 \Rightarrow 7 = -1\)

Уравнение 2: \(x^2 + (y + 6)^2 = 92\)
Подставляем x = 2, y = 4:
\(2^2 + (4 + 6)^2 \Rightarrow 4 + 100 = 104\)

Таким образом, пара чисел (2; 4) не является решением данной системы уравнений.

2. Решим систему уравнений с помощью метода сложения:

Уравнение 1: \(2x - 3y = 7\)
Уравнение 2: \(15x + 3y = 10\)

Умножим уравнение 1 на 5, чтобы получить одинаковый коэффициент при y:

Уравнение 1: \(10x - 15y = 35\)
Уравнение 2: \(15x + 3y = 10\)

Сложим эти два уравнения:
\((10x - 15y) + (15x + 3y) = 35 + 10 \Rightarrow 25x - 12y = 45\)

Разделим это уравнение на 3, чтобы получить уравнение с одинаковым коэффициентом при x:

\(\frac{25x - 12y}{3} = \frac{45}{3} \Rightarrow 8.33x - 4y = 15\)

Теперь вычтем это уравнение из уравнения 2:

\(15x + 3y - (8.33x - 4y) = 10 - 15 \Rightarrow 6.67x + 7y = -5\)

Таким образом, мы получили новое уравнение:
\(6.67x + 7y = -5\)

Решим эту систему уравнений:

Уравнение 3: \(25x - 12y = 45\)
Уравнение 4: \(6.67x + 7y = -5\)

Применим метод сложения:
Умножим 3-е уравнение на 12, а 4-е уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:

Уравнение 3: \(12(25x - 12y) = 12 \cdot 45 \Rightarrow 300x - 144y = 540\)
Уравнение 4: \(25(6.67x + 7y) = 25 \cdot -5 \Rightarrow 166.75x + 175y = -125\)

Теперь вычтем это уравнение из уравнения 3:

\((300x - 144y) - (166.75x + 175y) = 540 - (-125) \Rightarrow 133.25x - 319y = 665\)

Таким образом, мы получили новое уравнение:
\(133.25x - 319y = 665\)

Решим эту систему уравнений:

Уравнение 5: \(6.67x + 7y = -5\)
Уравнение 6: \(133.25x - 319y = 665\)

Применим метод сложения:
Умножим 5-е уравнение на 190, а 6-е уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

Уравнение 5: \(190(6.67x + 7y) = 190 \cdot -5 \Rightarrow 1265.3x + 1330y = -950\)
Уравнение 6: \(3(133.25x - 319y) = 3 \cdot 665 \Rightarrow 399.75x - 957y = 1995\)

Теперь вычтем это уравнение из уравнения 5:

\((1265.3x + 1330y) - (399.75x - 957y) = -950 - 1995 \Rightarrow 865.55x + 2287y = 1045\)

Таким образом, мы получили новое уравнение:
\(865.55x + 2287y = 1045\)

Решим эту систему уравнений:

Уравнение 7: \(133.25x - 319y = 665\)
Уравнение 8: \(865.55x + 2287y = 1045\)

Применим метод сложения:
Умножим 7-е уравнение на 2287, а 8-е уравнение на 319, чтобы избавиться от дробей:

Уравнение 7: \(2287(133.25x - 319y) = 2287 \cdot 665 \Rightarrow 305826.75x - 727573y = 1510555\)
Уравнение 8: \(319(865.55x + 2287y) = 319 \cdot 1045 \Rightarrow 276020.45x + 730653y = 332055\)

Теперь вычтем это уравнение из уравнения 7:

\((305826.75x - 727573y) - (276020.45x + 730653y) = 1510555 - 332055 \Rightarrow 29806.3x - 1453226y = 1178500\)

Таким образом, мы получили новое уравнение:
\(29806.3x - 1453226y = 1178500\)

Данная система уравнений не имеет решений.

3. Для нахождения длин сторон прямоугольника по его площади и периметру воспользуемся формулами:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = ab = 20\)
Периметр прямоугольника равен двойной сумме его сторон: \(P = 2(a + b) = 18\)

Решим систему уравнений:

Уравнение 1: \(ab = 20\)
Уравнение 2: \(2(a + b) = 18\)

Разделим 2-е уравнение на 2:
\(a + b = 9\)

Теперь найдем значения a и b, решив систему уравнений:

Методом подстановки:
Из уравнения 1 выразим переменную a:
\(a = \frac{20}{b}\)
Подставим это значение в уравнение 2:
\(\frac{20}{b} + b = 9\)

Умножим все члены уравнения на b:
\(20 + b^2 = 9b\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\(b^2 - 9b + 20 = 0\)

Разложим левую часть на множители:
\((b - 4)(b - 5) = 0\)

Таким образом, получаем два возможных значения b:
\(b = 4\) или \(b = 5\)

Подставим значения переменной b в уравнение 1, чтобы найти соответствующие значения a:
Для b = 4:
\(a = \frac{20}{4} = 5\)

Для b = 5:
\(a = \frac{20}{5} = 4\)

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны: a = 5 см, b = 4 см.

4. Чтобы построить график уравнения \( (2x-7)(xy+y+5) = 0 \), необходимо проанализировать его уравнение:

\( (2x-7)(xy+y+5) = 0 \)

Обратим внимание, что уравнение равно нулю, если одна из скобок равна нулю. Исследуем каждую скобку отдельно:

Скобка \(2x - 7\) равна нулю, когда \(2x = 7\), или, алгебраически, \(x = \frac{7}{2}\).

Скобка \(xy+y+5\) равна нулю, когда \(xy+y = -5\). Мы можем вынести общий сомножитель \(y\) из скобки и решить уравнение относительно \(y\): \(y(x+1) = -5\). Приравниваем к нулю и находим значения \(y\): \(y = 0\) или \(x + 1 = -\frac{5}{y}\).

Таким образом, уравнение будет иметь следующие решения: \((x, y) = \left(\frac{7}{2}, 0\right)\) или \((x, y) = \left(-1 - \frac{5}{y}, y\right)\), где \(y\) может быть любым числом.

Построим график, чтобы визуализировать решения уравнения. Воспользуемся программой или калькулятором, чтобы построить график этого уравнения на плоскости \(xy\).

5. Решим систему уравнений:

Уравнение 1: \(y = x + 2\)
Уравнение 2: \(x^2 = y\)

Подставим уравнение 1 в уравнение 2:
\(x^2 = x + 2\)

Перенесем все члены в одну сторону:
\(x^2 - x - 2 = 0\)

Разложим левую часть на множители:
\((x - 2)(x + 1) = 0\)

Таким образом, получаем два возможных значения x:
\(x = 2\) или \(x = -1\)

Подставим значения переменной x в уравнение 1, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = 2:
\(y = 2 + 2 = 4\)

Для x = -1:
\(y = -1 + 2 = 1\)

Таким образом, решение системы уравнений: \((x, y) = (2, 4)\) и \((x, y) = (-1, 1)\).