Вариант 1. 1. Предоставлены следующие точки: м (1; -1), к (2; -1), т (6; 2) и р (5; 2). а) Докажите, что кт

1.

а) Чтобы доказать, что вектор КТ равен вектору МР, нужно убедиться, что их координаты соответствуют друг другу.

Координаты вектора КТ:
\(x_1 = 2 - 1 = 1\)
\(y_1 = -1 - (-1) = 0\)

Координаты вектора МР:
\(x_2 = 5 - 6 = -1\)
\(y_2 = 2 - 2 = 0\)

Мы видим, что \(x_1 = x_2\) и \(y_1 = y_2\), что подтверждает равенство векторов КТ и МР.

б) Для вычисления координат вектора, полученного путем сложения \((1/2)*КМ\) и ТК, сначала найдем значение \((1/2)*КМ\):

Координаты вектора КМ:
\(x_3 = 1 - 2 = -1\)
\(y_3 = -1 - (-1) = 0\)

Теперь найдем сумму \((1/2)*КМ\) и ТК:

\(x = (1/2)*x_3 + x_1 = (1/2)*(-1) + 1 = -1/2 + 1 = 1/2\)
\(y = (1/2)*y_3 + y_1 = (1/2)*0 + 0 = 0\)

Таким образом, координаты искомого вектора равны \(x = 1/2\) и \(y = 0\).

в) Чтобы определить абсолютное значение вектора КМ, используем формулу:

\(|КМ| = \sqrt{КМ_x^2 + КМ_y^2}\)

Из предоставленных точек М(1; -1) и К(2; -1) мы можем найти разность координат:

\(КМ_x = 2 - 1 = 1\)
\(КМ_y = -1 - (-1) = 0\)

Теперь подставим значения в формулу:

\(|КМ| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)

Таким образом, абсолютное значение вектора КМ равно 1.

2.

Чтобы нанести два произвольных вектора МН и МР на координатную плоскость и построить вектор, который равен \((1/2)*МН + МР\), нужно следовать следующим шагам:

- Найдите координаты вектора МН и МР и отметьте их на координатной плоскости.
- Умножьте координаты вектора МН на \(1/2\) и сложите их с координатами вектора МР.
- Нанесите полученные координаты на координатную плоскость, начиная с точки М.

3.

Для определения значения \(m\) так, чтобы векторы а(3; 4) и b(m; 2) были перпендикулярны, необходимо учесть свойство перпендикулярных векторов. Два вектора будут перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов a и b можно найти, используя формулу:

\(a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\)

Подставим значения координат векторов а и b в формулу:

\(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 3 \cdot m + 4 \cdot 2 = 3m + 8\)

Чтобы найти значение \(m\), при котором векторы а(3; 4) и b(m; 2) перпендикулярны, мы должны приравнять скалярное произведение к нулю:

\(3m + 8 = 0\)

Решим это уравнение:

\(3m = -8\)

\(m = -\frac{8}{3}\)

Таким образом, при \(m = -\frac{8}{3}\) векторы а(3; 4) и b(m; 2) будут перпендикулярны.

4.

Для вычисления косинуса угла между векторами КТ и MR используется формула:

\(\cos\theta = \frac{КТ \cdot МР}{|КТ| \cdot |МР|}\)

Сначала найдем скалярное произведение векторов КТ и MR, используя формулу:

\(КТ \cdot МР = КТ_x \cdot МР_x + КТ_y \cdot МР_y\)

Подставим значения координат векторов КТ и MR в формулу:

\(КТ_x \cdot МР_x + КТ_y \cdot МР_y = (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0\)

\(КТ \cdot МР = 1\)

Теперь найдем абсолютные значения векторов КТ и MR, используя формулу:

\(|КТ| = \sqrt{КТ_x^2 + КТ_y^2}\)

\(|МР| = \sqrt{МР_x^2 + МР_y^2}\)

Подставим значения векторов КТ и MR в формулу:

\(|КТ| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)

\(|МР| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)

Теперь подставим все значения в формулу для вычисления косинуса угла:

\(\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1\)

Таким образом, косинус угла между векторами КТ и MR равен 1.