При каком m векторы (3;-4) и (m;9) коллинеарны? При каком m они перпендикулярны?

Чтобы определить, при каком значении \( m \) векторы \( (3, -4) \) и \( (m, 9) \) коллинеарны, мы должны проверить, существует ли такая константа \( k \), для которой оба вектора будут пропорциональны. Мы можем сделать это, приравняв соответствующие компоненты векторов:

\[
\frac{3}{m} = \frac{-4}{9}
\]

Для решения этого уравнения, мы можем перекрестно перемножить и получить:

\[
3 \cdot 9 = -4 \cdot m
\]

\[
27 = -4m
\]

Теперь делим обе стороны на -4, чтобы выразить \( m \):

\[
m = \frac{27}{-4}
\]

\[
m = -\frac{27}{4}
\]

Таким образом, векторы \( (3, -4) \) и \( \left(-\frac{27}{4}, 9\right) \) будут коллинеарны при \( m = -\frac{27}{4} \).

Для определения, при каком \( m \) эти два вектора будут перпендикулярными, мы должны установить, равна ли их скалярное произведение 0. Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2
\]

Где \( a_1 \) и \( a_2 \) - компоненты первого вектора, а \( b_1 \) и \( b_2 \) - компоненты второго вектора.

Применяя эту формулу, у нас будет:

\[
(3)(m) + (-4)(9) = 0
\]

\[
3m - 36 = 0
\]

Теперь решаем уравнение для \( m \):

\[
3m = 36
\]

\[
m = \frac{36}{3}
\]

\[
m = 12
\]

Таким образом, векторы \( (3, -4) \) и \( (12, 9) \) будут перпендикулярными при \( m = 12 \).

Итак, мы получаем, что векторы \( (3, -4) \) и \( (m, 9) \) коллинеарны при \( m = -\frac{27}{4} \), а при \( m = 12 \) они перпендикулярны.