Вариант 1: 1. Найдите координаты вектора AB и его длину, если даны точки A(1; 6) и B(4; 2). 2. Определите, какие

Хорошо, давайте начнем с решения задачи.

1. Для нахождения координат вектора AB и его длины, мы можем использовать формулы для вычисления вектора и его длины.

Координаты вектора AB находим вычитанием координат точки A из координат точки B:
\[
AB = B - A = (4; 2) - (1; 6) = (3; -4)
\]

Длина вектора AB вычисляется по формуле:
\[
|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-4 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104}
\]

Таким образом, координаты вектора AB равны (3; -4), а его длина равна \(\sqrt{104}\).

2. Чтобы определить, какие из пар векторов коллинеарны, мы можем проверить, являются ли они коллинеарными или параллельными, используя определение коллинеарности векторов.

а) Вектор A(2; -3) и вектор B(-3; 2):
Чтобы определить, являются ли эти векторы коллинеарными, мы должны проверить, существует ли такое число \(k\), при котором каждая координата вектора B равна произведению соответствующей координаты вектора A на это число \(k\). Найдем коэффициент:
\[
k = \frac{x_{B}}{x_{A}} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}
\]
\[
k = \frac{y_{B}}{y_{A}} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}
\]
Поскольку каждый коэффициент равен одной и той же величине, пара векторов A(2; -3) и B(-3; 2) является коллинеарной.

б) Вектор A(-1; 3) и вектор B(2; -6):
Проверим коллинеарность:
\[
k = \frac{x_{B}}{x_{A}} = \frac{2}{-1} = -2
\]
\[
k = \frac{y_{B}}{y_{A}} = \frac{-6}{3} = -2
\]
Поскольку каждый коэффициент равен одной и той же величине, пара векторов A(-1; 3) и B(2; -6) является коллинеарной.

в) Вектор A(4; 1) и вектор B(-4; -1):
Проверим коллинеарность:
\[
k = \frac{x_{B}}{x_{A}} = \frac{-4}{4} = -1
\]
\[
k = \frac{y_{B}}{y_{A}} = \frac{-1}{1} = -1
\]
Поскольку каждый коэффициент равен одной и той же величине, пара векторов A(4; 1) и B(-4; -1) является коллинеарной.

г) Вектор A(-3; 4) и вектор B(-6; -8):
Проверим коллинеарность:
\[
k = \frac{x_{B}}{x_{A}} = \frac{-6}{-3} = 2
\]
\[
k = \frac{y_{B}}{y_{A}} = \frac{-8}{4} = -2
\]
Так как коэффициенты не равны, пара векторов A(-3; 4) и B(-6; -8) не является коллинеарной.

3. Для вычисления координат вектора A+B мы просто складываем соответствующие координаты векторов A и B:
\[
A+B = (1; -2) + (-2; 5) = (1 + (-2); -2 + 5) = (-1; 3)
\]

Таким образом, координаты вектора A+B равны (-1; 3).

4. Для определения координат центра и радиуса окружности, мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка, а также длину отрезка между точками P и T для нахождения радиуса.

а) Координаты центра окружности могут быть найдены как середина отрезка PT:
\[
\text{Центр} = \left(\frac{x_{P} + x_{T}}{2}, \frac{y_{P} + y_{T}}{2}\right) = \left(\frac{10 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 11}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (4, 3)
\]

Чтобы найти радиус окружности, нам нужно вычислить длину отрезка PT:
\[
\text{Радиус} = \frac{1}{2}|PT| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_{T} - x_{P})^2 + (y_{T} - y_{P})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(-2 - 10)^2 + (11 - (-5))^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(-12)^2 + (16)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{144 + 256} = \frac{1}{2}\sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10
\]

Таким образом, координаты центра окружности - (4; 3), а радиус окружности - 10.

б) Чтобы построить окружность на координатной плоскости, мы берем центр окружности и переносим его на плоскость с помощью точки P(10; -5). Затем мы осуществляем рисунок окружности, используя радиус 10.