Какова площадь поверхности треугольной призмы, если ее ребра имеют длину 1 см (см. рисунок 1.13)?

Хорошо, давайте посмотрим на задачу. Чтобы узнать площадь поверхности треугольной призмы, нам необходимо знать длину ребер этой призмы. Из текста задачи мы уже знаем, что длина всех ребер равна 1 см.

Для решения этой задачи мы можем разделить поверхность призмы на несколько различных частей и затем сложить площади каждой из этих частей.

Рассмотрим ребра призмы. Верхняя и нижняя грани призмы являются треугольниками, а боковые грани - прямоугольниками. Начнем с подсчета площади треугольной основы.

Площадь треугольной основы можно вычислить, зная ее высоту и основание. Для нашей треугольной призмы, основание - это одно из ребер призмы, которое равно 1 см. Остается найти высоту треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, обратимся к геометрическим свойствам треугольника. Если у нас есть прямоугольный треугольник, у которого известны две стороны (в данном случае длины ребер призмы) и гипотенуза (диагональ призмы), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту.

Так как длина каждого ребра призмы равна 1 см, мы можем считать каждую грань треугольной призмы прямоугольным треугольником со сторонами 1 см, 1 см и диагональю призмы. Тогда, применив теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали.

Для простоты рассмотрим только одну грань призмы. Давайте назовем ее треугольником АВС, где АВ и ВС - ребра призмы, а АС - диагональ.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применим эту теорему к нашему треугольнику АВС:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 1^2 + 1^2\]
\[AC^2 = 1 + 1\]
\[AC^2 = 2\]
\[AC = \sqrt{2}\]

Таким образом, мы нашли длину диагонали АС - она равна \(\sqrt{2}\) см.

Теперь можно найти высоту треугольника, которая является одной из сторон треугольной призмы. Высота равна расстоянию от вершины до основания треугольника. В нашем случае, это расстояние равно длине ребра призмы, то есть 1 см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника, используя формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

В нашем случае, площадь одной треугольной основы равна: \(S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}\) квадратных сантиметров.

Чтобы найти площадь всех граней призмы, умножим площадь одной треугольной основы на количество граней призмы. У нас есть две треугольные грани, поэтому общая площадь основ равна: \(2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) квадратный сантиметр.

Кроме того, у призмы есть еще боковые грани, которые являются прямоугольниками. Площадь прямоугольника можно вычислить, умножив длину на ширину.

Длина боковой стороны прямоугольника равна длине ребра призмы, то есть 1 см. Ширина боковой стороны равна высоте треугольника, которая также равна 1 см.

Таким образом, площадь одной боковой грани равна: \(S = 1 \cdot 1 = 1\) квадратный сантиметр.

Так как у призмы есть три боковые грани, общая площадь боковых граней равна: \(3 \cdot 1 = 3\) квадратных сантиметра.

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности призмы, сложив площадь основ и площадь боковых граней: \(1 + 3 = 4\) квадратных сантиметра.

Таким образом, площадь поверхности треугольной призмы с ребрами длиной 1 см равна 4 квадратным сантиметрам.