В треугольной призме 111, найдите вектор →, который имеет начало и конец на вершинах призмы и удовлетворяет следующим

Давайте рассмотрим каждое условие по отдельности и найдем вектор, который удовлетворяет этим условиям.

Условие 1: \(1 - \vec{A} + 1 - \vec{B} = -\vec{C}\), где \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) - векторы, ищем вектор \(\vec{C}\).

Данное условие можно переписать в виде \(-\vec{A} - \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}\).

Условие 2: \(1 - \vec{A} - 1 - \vec{B} = 1 - \vec{C}\), где \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) - векторы, ищем вектор \(\vec{C}\).

Данное условие можно переписать в виде \(-\vec{A} - \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}\).

Условие 3: \(1 - \vec{A} + \vec{C} = 1 - \vec{B} - \vec{C} + \vec{D}\), где \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\), \(\vec{D}\) - векторы, ищем вектор \(\vec{D}\).

Данное условие можно переписать в виде \(-\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C} + \vec{D} = \vec{0}\).

Таким образом, у нас получилась система трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\) и \(\vec{D}\). Чтобы решить эту систему, нужно составить расширенную матрицу и применить метод Гаусса или метод Крамера.

Теперь давайте найдем решение этой системы. Сначала составим расширенную матрицу:

\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
\end{{bmatrix}}
\]

Применим метод Гаусса:

1. Поменяем местами первую и третью строки:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{{bmatrix}}
\]

2. Вычтем из второй строки первую строку:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 3 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{{bmatrix}}
\]

3. Вычтем из третьей строки первую строку:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 3 & 0 & -1 \\
0 & -2 & 2 & 1 & -1 \\
\end{{bmatrix}}
\]

4. Поделим вторую строку на -2:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & -2 & 2 & 1 & -1 \\
\end{{bmatrix}}
\]

5. Вычтем из третьей строки удвоенную вторую строку:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 4 & 1 & -2 \\
\end{{bmatrix}}
\]

6. Разделим третью строку на 4:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\end{{bmatrix}}
\]

7. Вычтем из второй строки утроенную третью строку:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\end{{bmatrix}}
\]

8. Вычтем из первой строки две вторые строки:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & -1 & 1 & \frac{3}{2} & -4 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\end{{bmatrix}}
\]

9. Прибавим к первой строке вторую строку:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\end{{bmatrix}}
\]

10. Вычтем из первой строки половину третьей строки:
\[
\begin{{bmatrix}}
-1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -1 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\
\end{{bmatrix}}
\]

Теперь получаем систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
-1\vec{A} + \frac{1}{4}\vec{D} = -1 \\
\vec{B} - \frac{3}{2}\vec{C} - \frac{3}{4}\vec{D} = \frac{5}{2} \\
\vec{C} + \frac{1}{4}\vec{D} = -\frac{1}{2}
\end{{cases}}
\]

Из третьего уравнения получаем \(\vec{D} = -2\vec{C} - 2\). Подставляем это значение во второе уравнение:

\[
\vec{B} - \frac{3}{2}\vec{C} - \frac{3}{4}(-2\vec{C} - 2) = \frac{5}{2}
\]

Раскрываем скобки:

\[
\vec{B} - \frac{3}{2}\vec{C} + \frac{3}{2}\vec{C} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}
\]

Упрощаем:

\[
\vec{B} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}
\]

Вычитаем \(\frac{3}{2}\) из обеих частей:

\[
\vec{B} = 1
\]

Подставляем это значение в первое уравнение:

\[
-1\vec{A} + \frac{1}{4}(-2\vec{C} - 2) = -1
\]

Упрощаем:

\[
-1\vec{A} - \frac{1}{2}\vec{C} - \frac{1}{2} = -1
\]

Прибавляем \(\frac{1}{2}\) к обеим частям:

\[
-1\vec{A} - \frac{1}{2}\vec{C} = -\frac{1}{2}
\]

Домножаем на -1:

\[
\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{C} = \frac{1}{2}
\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{C} = \frac{1}{2} \\
\vec{B} = 1 \\
\vec{C} + \frac{1}{4}(-2\vec{C} - 2) = -\frac{1}{2} \\
\end{{cases}}
\]

Решим третье уравнение:

\[
\vec{C} - \frac{1}{2}\vec{C} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Упрощаем:

\[
\frac{1}{2}\vec{C} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Прибавляем \(\frac{1}{2}\) к обеим частям:

\[
\frac{1}{2}\vec{C} = 0
\]

Домножаем на 2:

\[
\vec{C} = 0
\]

Теперь подставляем это значение в первое уравнение:

\[
\vec{A} + \frac{1}{2}(0) = \frac{1}{2}
\]

Упрощаем:

\[
\vec{A} = \frac{1}{2}
\]

Итак, мы получили, что \(\vec{A} = \frac{1}{2}\), \(\vec{B} = 1\), \(\vec{C} = 0\), и \(\vec{D} = -2\vec{C} - 2 = -2(0) - 2 = -2\).

Таким образом, вектор, который имеет начало и конец на вершинах призмы и удовлетворяет данным условиям, равен:

\[
\vec{ABCD} = \frac{1}{2}\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, искомый вектор равен \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).