Каков закон распределения числа остановок автомобиля на улице с тремя светофорами, где зеленый сигнал горит в течение

Чтобы определить закон распределения числа остановок автомобиля на улице с тремя светофорами, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение применяется, когда у нас есть серия независимых испытаний (в данном случае, прохождение автомобиля каждого светофора) с фиксированной вероятностью успеха (в данном случае, остановка автомобиля при включенном красном свете).

Для того чтобы найти вероятность, что автомобиль остановится в определенном количестве светофоров, мы должны учесть, что зеленый свет горит 1,5 минуты, желтый 0,3 минуты и красный 1,2 минуты.

Пусть \(X\) - случайная величина, представляющая количество остановок автомобиля на этом участке дороги.

Вероятность того, что автомобиль остановится на одном из светофоров, можно рассчитать следующим образом:

Для зеленого света:
Вероятность остановки на зеленом свете: \(p_1 = \frac{{1,5}}{{4,0}}\) (1,5 минуты зеленого света из 4,0 минут общего времени равномерно распределено между всеми светофорами).

Для желтого света:
Вероятность остановки на желтом свете: \(p_2 = \frac{{0,3}}{{4,0}}\) (аналогично, 0,3 минуты времени желтого света равномерно распределены).

Для красного света:
Вероятность остановки на красном свете: \(p_3 = \frac{{1,2}}{{4,0}}\) (аналогично, 1,2 минуты времени красного света равномерно распределены).

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности \(P(X = k)\), где \(k\) - количество остановок автомобиля:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\]

Где \(n\) - количество светофоров (в данном случае 3), \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент "n по k" (число способов выбрать \(k\) светофоров для остановки из \(n\)), \(p\) - вероятность остановки на одном светофоре, \(1-p\) - вероятность неостановки на одном светофоре.

Теперь мы можем приступить к расчету вероятности для каждого значения \(k\).

1) Количество остановок \(k = 0\):
\[P(X = 0) = \binom{3}{0} p_1^0(1-p_1)^3\]

2) Количество остановок \(k = 1\):
\[P(X = 1) = \binom{3}{1} p_1^1(1-p_1)^2 + \binom{3}{1} p_2^1(1-p_2)^2 + \binom{3}{1} p_3^1(1-p_3)^2\]

3) Количество остановок \(k = 2\):
\[P(X = 2) = \binom{3}{2} p_1^2(1-p_1)^1 + \binom{3}{2} p_2^2(1-p_2)^1 + \binom{3}{2} p_3^2(1-p_3)^1\]

4) Количество остановок \(k = 3\):
\[P(X = 3) = \binom{3}{3} p_1^3(1-p_1)^0 + \binom{3}{3} p_2^3(1-p_2)^0 + \binom{3}{3} p_3^3(1-p_3)^0\]

Вы можете вычислить эти вероятности, заменяя значения \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) и вышеуказанные биномиальные коэффициенты в соответствующие формулы. Это позволит вам определить закон распределения числа остановок автомобиля на этой улице.