В треугольнике авс, в котором ab = bc и угол b = 30° (см. рисунок 77), найдите угол между следующими векторами

Нам дан треугольник АВС, в котором АВ = ВС и угол В = 30°. Нам нужно найти углы между следующими векторами:

а) Вектор АВ и вектор АС.
б) Вектор АВ и вектор ВС.
в) Вектор АС и вектор ВА.

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

а) Вектор АВ и вектор АС:
Для нахождения угла между векторами, мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}\)

где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{AB}\) - вектор АВ, \(\mathbf{AC}\) - вектор АС, и || обозначает длину вектора.

Векторы АВ и АС имеют одинаковую длину, так как АВ = ВС. Поэтому формула упрощается до:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}|^2}\)

Теперь нам нужно найти скалярное произведение векторов АВ и АС. Скалярное произведение можно найти, умножив соответствующие компоненты векторов и их сумму.

Пусть вектор АВ имеет компоненты (x1, y1) и вектор АС имеет компоненты (x2, y2). Тогда скалярное произведение векторов будет:

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = x1 \cdot x2 + y1 \cdot y2\)

Теперь, используя полученные значения, мы можем вычислить угол \(\theta\) с помощью формулы:

\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}|^2}\right)\)

б) Вектор АВ и вектор ВС:
Мы уже знаем, что длина векторов АВ и ВС равна. Поэтому, чтобы найти угол между этими векторами, мы можем использовать ту же формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{|\mathbf{AB}|^2}\)

где \(\mathbf{BC}\) - вектор BC. Поскольку \(\mathbf{BC} = -\mathbf{AB}\) (вектор BC направлен в противоположную сторону), скалярное произведение векторов будет:

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = -|\mathbf{AB}|^2\)

Подставляя это значение в формулу, мы получаем:

\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-|\mathbf{AB}|^2}{|\mathbf{AB}|^2}\right)\)

\(\theta = \cos^{-1}(-1)\)

Угол между векторами АВ и ВС будет 180 градусов.

в) Вектор АС и вектор ВА:
Мы знаем, что вектор ВА = -вектор АВ (вектор ВА направлен в противоположную сторону). Поэтому, угол между векторами АС и ВА будет таким же, как угол между векторами АС и АВ.

Таким образом, угол между векторами АС и ВА будет равен \(\theta\), который мы вычислили в пункте а.

Вот решение задачи, где найдены углы между данными векторами в треугольнике АВС.