В треугольнике ABC даны векторы A = C * A и B = C * B, где A = (0, 1, -1) и B = (2, -1, -1). Найдите: а) Вектор

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

а) Чтобы найти вектор AB, нам необходимо вычесть из координат вектора B координаты вектора A. Поскольку вектор A = (0, 1, -1) и вектор B = (2, -1, -1), мы можем вычислить:
AB = B - A
AB = (2, -1, -1) - (0, 1, -1)
AB = (2 - 0, -1 - 1, -1 - (-1))
AB = (2, -2, 0)

Ответ: Вектор AB = (2, -2, 0).

б) Чтобы найти внутренние углы треугольника, нам необходимо использовать свойство скалярного произведения векторов. В данном случае, мы можем использовать следующую формулу для вычисления угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A • B) / (|A| * |B|)

где A • B - скалярное произведение векторов A и B, |A| и |B| - модули векторов A и B.

Теперь, чтобы найти внутренние углы треугольника, нам нужно вычислить скалярное произведение для каждой пары векторов (AB, AC, BC) и затем использовать найденные значения для вычисления углов.

Мы уже знаем вектор AB = (2, -2, 0). Давайте теперь найдем вектор AC и BC. Поскольку дано, что A = C * A и B = C * B, мы можем обратить это уравнение, чтобы найти векторы C:
C = A / A
C = (0, 1, -1) / (0, 1, -1)
C = (1, 1, -1)

Теперь у нас есть векторы AB = (2, -2, 0), AC = (1, 1, -1) и BC = B - C = (2, -1, -1) - (1, 1, -1) = (1, -2, 0).

Для начала давайте вычислим скалярное произведение между векторами AB и AC:
AB • AC = (2, -2, 0) • (1, 1, -1)
AB • AC = 2 * 1 + (-2) * 1 + 0 * (-1)
AB • AC = 2 - 2 + 0
AB • AC = 0

Теперь давайте вычислим скалярное произведение между векторами AB и BC:
AB • BC = (2, -2, 0) • (1, -2, 0)
AB • BC = 2 * 1 + (-2) * (-2) + 0 * 0
AB • BC = 2 + 4 + 0
AB • BC = 6

И, наконец, вычислим скалярное произведение между векторами AC и BC:
AC • BC = (1, 1, -1) • (1, -2, 0)
AC • BC = 1 * 1 + 1 * (-2) + (-1) * 0
AC • BC = 1 - 2 + 0
AC • BC = -1

Теперь, когда у нас есть скалярные произведения между парами векторов, мы можем использовать формулу cos(θ) = (A • B) / (|A| * |B|) для вычисления углов.

Угол между векторами AB и AC:
cos(θ1) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|)
cos(θ1) = 0 / (|AB| * |AC|)
cos(θ1) = 0 / (√(2^2 + (-2)^2 + 0^2) * √(1^2 + 1^2 + (-1)^2))
cos(θ1) = 0 / (2 * √3)
cos(θ1) = 0

Угол между векторами AB и BC:
cos(θ2) = (AB • BC) / (|AB| * |BC|)
cos(θ2) = 6 / (2 * √3 * √(1^2 + (-2)^2 + 0^2))
cos(θ2) = 3 / (√3 * √5)
cos(θ2) = 3 / (√15)

Угол между векторами AC и BC:
cos(θ3) = (AC • BC) / (|AC| * |BC|)
cos(θ3) = -1 / (√(1^2 + 1^2 + (-1)^2) * √(1^2 + (-2)^2 + 0^2))
cos(θ3) = -1 / (√3 * √5)
cos(θ3) = -1 / (√15)

Ответ: Угол между векторами AB и AC равен 0 радиан, угол между векторами AB и BC равен \( \frac{3}{\sqrt{15}} \) радиан, угол между векторами AC и BC равен \( -\frac{1}{\sqrt{15}} \) радиан.

в) Для нахождения вектора C = A × (B - 2A) нам необходимо использовать векторное произведение. Формула для векторного произведения двух векторов A и B:

C = A × B, где

C = (C₁, C₂, C₃),
C₁ = A₂B₃ - A₃B₂,
C₂ = A₃B₁ - A₁B₃,
C₃ = A₁B₂ - A₂B₁,

В данном случае A = (0, 1, -1) и B = (2, -1, -1). Подставим значения в формулу:

C₁ = (0 * (-1)) - (1 * (-1)) = 0 - (-1) = 1,
C₂ = (-1 * 2) - (0 * (-1)) = -2 - 0 = -2,
C₃ = (0 * (-1)) - (1 * 2) = 0 - 2 = -2.

Таким образом, вектор C = (1, -2, -2).

Чтобы найти модуль |C|, нужно вычислить длину вектора C:
|C| = √(C₁² + C₂² + C₃²)
|C| = √(1² + (-2)² + (-2)²)
|C| = √(1 + 4 + 4)
|C| = √9
|C| = 3

Ответ: Вектор C = (1, -2, -2), модуль |C| равен 3.

г) Чтобы рассчитать модуль смешанного произведения |(i + j + k)AB|, используем формулу для модуля смешанного произведения:

|(i + j + k)AB| = |(1, 1, 1) • (2, -2, 0)|
|(i + j + k)AB| = |2 + (-2) + 0|
|(i + j + k)AB| = |0|

Ответ: Модуль смешанного произведения |(i + j + k)AB| равен 0.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!