В торговом центре есть два одинаковых автомата, которые продают шоколадные батончики. Вероятность того, что к концу

Для решения этой задачи воспользуемся определением условной вероятности и формулой полной вероятности.

Пусть событие A означает, что батончики закончатся в первом автомате, событие B означает, что батончики закончатся во втором автомате, а событие C означает, что батончики закончатся только в одном автомате.

Дано:
\(P(A \cap B) = 0.2\) - вероятность того, что к концу дня в каждом автомате закончатся батончики,
\(P(C) = 0.07\) - вероятность того, что батончики закончатся только в одном из автоматов.

Мы хотим найти следующие вероятности:

а) \(P(A)\) - вероятность того, что батончики закончатся только в первом автомате,
б) \(P(C \cap \overline{A})\) - вероятность того, что батончики закончатся только в одном автомате и именно во втором автомате,
в) \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) - вероятность того, что батончики останутся в обоих автоматах.

Для нахождения вероятностей воспользуемся формулой условной вероятности и формулой полной вероятности.

а) Для первого случая, чтобы найти вероятность закончиться только в первом автомате (\(P(A)\)), нам нужно вычесть вероятность того, что батончики закончатся и в обоих автоматах, и только во втором автомате из общей вероятности того, что батончики закончатся (\(P(A \cup B)\)). Формула имеет следующий вид:
\[P(A) = P(A \cup B) - P(B)\]

Из условия мы знаем, что \(P(A \cup B) = 0.2\). Также можно заметить, что вероятность купить шоколадные батончики в обоих автоматах будет равна 1 - \(P(A \cup B)\), то есть \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.8\). Таким образом, можно записать формулу для нахождения вероятности первого случая:
\[P(A) = 0.2 - 0.8 = \underline{0.2}\]

б) Для второго случая мы ищем вероятность закончиться только в одном автомате и именно во втором автомате. Это можно записать в виде \(P(C \cap \overline{A})\). Используем формулу для условной вероятности:
\[P(C \cap \overline{A}) = P(C \cap \overline{A} \cap \overline{B}) + P(C \cap \overline{A} \cap B)\]

Так как батончики закончатся только в одном автомате, то либо во втором, либо в первом (но не одновременно в обоих). Поэтому вероятность события \(C \cap \overline{A} \cap \overline{B}\) равна нулю. Остается только рассмотреть случай, когда батончики закончатся только во втором автомате, а в первом останутся. Запишем это в виде \(P(C \cap \overline{A} \cap B)\).

Чтобы найти эту вероятность, воспользуемся условной формулой вероятности:
\[P(C \cap \overline{A} \cap B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}\]

так как \(P(C \cap B) = 0.07\) и \(P(B) = 0.2\) (из условия), то можно записать:
\[P(C \cap \overline{A} \cap B) = \frac{0.07}{0.2} = \underline{0.35}\]

б) Для третьего случая мы ищем вероятность того, что батончики останутся и в первом, и во втором автоматах. Это можно записать в виде \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\). Так как события несовместные, вероятность их пересечения равна нулю. Поэтому:
\[P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.2 = \underline{0.8}\]

Таким образом, ответы на все вопросы:
а) Вероятность того, что батончики закончатся только в первом автомате, равна 0.2.
б) Вероятность того, что батончики закончатся только в одном автомате и именно во втором автомате, равна 0.35.
в) Вероятность того, что батончики останутся в обоих автоматах, равна 0.8.