Какова сумма наиболее отрицательного и наименьшего положительного решений уравнения 4sin^2 2x=3?

Чтобы найти сумму наиболее отрицательного и наименьшего положительного решений уравнения \(4\sin^2 2x=3\), нам нужно решить данное уравнение и найти значения \(x\), соответствующие наиболее отрицательному и наименьшему положительному решению.

Давайте начнем с решения самого уравнения \(4\sin^2 2x=3\).

1. Начнем с выражения уравнения в более простой форме. Мы знаем, что \(\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}\), поэтому уравнение можно переписать в следующем виде: \(4 \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 3\).

Упростим уравнение: \(2 - 2\cos 4x = 3\).

2. Теперь избавимся от константы, вычтя 2 из обеих частей уравнения: \(-2\cos 4x = 1\).

3. Разделим обе части уравнения на -2: \(\cos 4x = -\frac{1}{2}\).

4. Найдем значения \(4x\), соответствующие косинусу \(-\frac{1}{2}\). Для этого нам понадобится таблица значений тригонометрических функций или калькулятор, способный вычислить обратный косинус.

Из таблицы или с помощью калькулятора мы находим два наименьших положительных значения угла \(\theta\), таких что \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\). В таблице эти значения соответствуют углам \(120^\circ\) и \(240^\circ\). Так как нас интересует угол \(4x\), получаем два набора значений: \(4x_1 = 120^\circ\) и \(4x_2 = 240^\circ\).

5. Теперь найдем \(x\) поделив \(4x_1\) и \(4x_2\) на 4: \(x_1 = 30^\circ\) и \(x_2 = 60^\circ\).

Таким образом, наименьшее положительное решение уравнения \(4\sin^2 2x=3\) равно \(x_1 = 30^\circ\), а наиболее отрицательное решение равно \(x_2 = 60^\circ\).

Чтобы найти их сумму, сложим эти два значения: \(x_1 + x_2 = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\).

Итак, сумма наиболее отрицательного и наименьшего положительного решений уравнения \(4\sin^2 2x=3\) равна \(90^\circ\).