В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, сторона BC равна 5, а сторона AC равна 10. Пересечение биссектрис

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы.

Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть сторона BC длиной 5 и сторона AC длиной 10. Мы знаем, что треугольник ABC прямоугольный со прямым углом B, поэтому можем применить теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза -- это сторона AC, а катеты -- это стороны BC и AB.

Используя теорему Пифагора, можем найти длину стороны AB:
\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.\]

Теперь рассмотрим биссектрису угла ABC. По определению биссектрисы, она делит угол ABC на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла ABC с стороной AC как точку M.

Так как биссектриса делит угол ABC на два равных угла, то имеем:
\[AM = MC.\]

Также, используя свойства биссектрисы, можем сказать, что отношение длин сторон треугольника, образующих биссектрису, равно отношению длин отрезков, на которых она делит соответствующую сторону треугольника.

То есть,
\[\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}.\]

Подставим значения, которые мы уже нашли:
\[\frac{5\sqrt{3}}{5} = \frac{AM}{MC}.\]

Упростим:
\[\sqrt{3} = \frac{AM}{MC}.\]

Теперь вспомним, что угол BOC -- это угол, образованный биссектрисой угла ABC и стороной AC. Из свойств биссектрисы мы знаем, что угол BOM равен углу MOС.

Получается, что угол BOC -- это удвоенный угол BOM (или угол МОС). Поэтому, чтобы найти меру угла BOC, нам нужно найти меру угла BOM и удвоить ее.

Так как мы знаем, что отношение длин отрезков AM и MC равно \(\sqrt{3}\), то мы можем сказать, что угол BOM равен 60 градусов.

Теперь удвоим это значение:
\(BOC = 2 \times 60 = 120\) градусов.

Таким образом, мера угла BOC равна 120 градусов.