50. Необходимо найти угол между прямой, проходящей через точку А, удаленную от плоскости Альфа на 4 см, и самой

Для решения данной задачи, мы можем использовать геометрические свойства пересекающихся прямых и плоскостей.

Для начала нам понадобятся следующие обозначения:
- Точка A - точка, удаленная на 4 см от плоскости Альфа
- Прямая, проходящая через точку A - прямая l
- Плоскость Альфа - плоскость α
- Точка пересечения прямой l и плоскости α - точка B
- Длина отрезка АВ - AB

Теперь приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем уравнение плоскости α
Чтобы найти уравнение плоскости α, нам необходимо знать координаты трех точек, принадлежащих этой плоскости. У нас есть только одна точка B, через которую проходит прямая l и плоскость α. Пусть координаты точки B будут (x₀, y₀, z₀). Тогда три уравнения будут иметь вид:

\[
a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
\]

Воспользуемся координатами точки B и подставим их в уравнение плоскости α:

\[
a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
\]

Шаг 2: Найдем уравнение прямой l
Прямая l проходит через точку A и имеет направляющий вектор, совпадающий с нормалью плоскости α (так как l пересекает плоскость α). Пусть координаты точки A будут (x₁, y₁, z₁), а нормаль плоскости α будем обозначать как (a, b, c). Уравнение прямой l будет иметь вид:

\[
\frac{x - x₁}{a} = \frac{y - y₁}{b} = \frac{z - z₁}{c}
\]

Шаг 3: Найдем координаты точки B
Мы знаем, что прямая l пересекает плоскость α в точке B. Подставим уравнение прямой l в уравнение плоскости α:

\[
a\left(\frac{x - x₁}{a}\right) + b\left(\frac{y - y₁}{b}\right) + c\left(\frac{z - z₁}{c}\right) = 0
\]

Упростим выражение:

\[
(x - x₁) + (y - y₁) + (z - z₁) = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x - x₁ + y - y₁ + z - z₁ = 0
\]

Таким образом, в точке B координаты будут:

\[
x = x₁, \quad y = y₁, \quad z = z₁
\]

Шаг 4: Найдем длину отрезка AB
Длина отрезка AB уже известна и равна AB. Мы можем ее использовать для дальнейших расчетов.

Шаг 5: Найдем угол между прямой l и плоскостью α
Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов. Направляющий вектор прямой l равен нормали плоскости α, поэтому нормализуем его:

\[
\vec{l} = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}
\]

где \(\vec{n} = (a, b, c)\) - нормаль плоскости α

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами \(\vec{l}\) и \(\vec{n}\) при помощи скалярного произведения:

\[
\cos\theta = \frac{\vec{l} \cdot \vec{n}}{\|\vec{l}\| \cdot \|\vec{n}\|}
\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{l}\) и \(\vec{n}\)

Теперь, найдя косинус угла \(\theta\), мы можем найти сам угол при помощи функции арккосинуса:

\[
\theta = \arccos\left(\frac{\vec{l} \cdot \vec{n}}{\|\vec{l}\| \cdot \|\vec{n}\|}\right)
\]

Таким образом, мы получаем угол между прямой l и плоскостью α.

Далее мы приложим рисунок с подробными объяснениями и расчетами