В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ромбовидной основой ABCD, прямая BB1 перпендикулярна плоскости ABC, угол

1) Чтобы найти угол между прямой AC и плоскостью BB1D, нам нужно найти угол между векторами, лежащими в этих прямой и плоскости. Давайте разберемся шаг за шагом.

Первый шаг: Найдем вектор AC. Мы знаем, что точка A (0,0,0) и точка C (0,0,ACz), поскольку основание ромбовидной основы находится в плоскости XY.

Вектор AC равен \(\overrightarrow{AC} = (0-0, 0-0, AC_z-0) = (0, 0, AC_z)\).

Второй шаг: Найдем вектор прямой BB1. У нас есть прямая BB1, перпендикулярная плоскости ABC. Для упрощения наших вычислений предположим, что точка B (0,0,0) и точка B1 (BB1x, BB1y, 0), поскольку BB1 перпендикулярна плоскости ABC и лежит на оси Z.

Вектор BB1 равен \(\overrightarrow{BB1} = (0-BB1x, 0-BB1y, 0-0) = (-BB1x, -BB1y, 0)\).

Третий шаг: Найдем скалярное произведение векторов AC и BB1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BB1} = -BB1x \cdot 0 + -BB1y \cdot 0 + AC_z \cdot 0 = 0\).

Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы AC и BB1 ортогональны, и угол между прямой AC и плоскостью BB1D равен 90 градусов.

2) Чтобы найти расстояние от точки C до плоскости BB1D, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Формула для расстояния \(d\) от точки \(P(x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) задается следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\]

В нашем случае, плоскость BB1D задается уравнением \(x - BB1x + y - BB1y + z = 0\).

Точка C (0, 0, CZ), поэтому \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(z_0 = CZ\), и \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 1\), \(D = -(BB1x + BB1y)\).

Подставляя значения, получаем:

\[d = \frac{{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + CZ \cdot 1 - (BB1x + BB1y)|}}{{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}}\]

\[d = \frac{{|CZ - (BB1x + BB1y)|}}{{\sqrt{3}}}\]

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости BB1D равно \(\frac{{|CZ - (BB1x + BB1y)|}}{{\sqrt{3}}}\).

3) Чтобы найти угол между прямой C1O и плоскостью, нам нужно найти угол между векторами, лежащими в этих прямой и плоскости. Давайте разберемся шаг за шагом.

Первый шаг: Найдем вектор C1O. Мы знаем, что точка C1 (-1,0,CZ) и точка O (0,0,0), поскольку C1O лежит в оси X.

Вектор C1O равен \(\overrightarrow{C1O} = (-1-0, 0-0, CZ-0) = (-1, 0, CZ)\).

Второй шаг: Найдем нормальный вектор плоскости. У нас есть трехмерная плоскость, заданная своим уравнением \(x - BB1x + y - BB1y + z = 0\).

Нормальный вектор плоскости равен \(\overrightarrow{N} = (1, 1, 1)\), так как коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) равны 1.

Третий шаг: Найдем скалярное произведение векторов C1O и N. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

\(\overrightarrow{C1O} \cdot \overrightarrow{N} = -1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + CZ \cdot 1 = -1 + CZ\).

Четвертый шаг: Найдем длину вектора C1O.

Длина вектора C1O равна \(\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + CZ^2} = \sqrt{1 + CZ^2}\).

Таким образом, \(\overrightarrow{C1O} \cdot \overrightarrow{N} = \sqrt{1 + CZ^2} \cdot (1 - CZ) = \sqrt{1 + CZ^2} - CZ \cdot \sqrt{1 + CZ^2} = (\sqrt{1 + CZ^2} - CZ) \cdot \sqrt{1 + CZ^2}\).

Подставляя значения, получаем:

\(\overrightarrow{C1O} \cdot \overrightarrow{N} = (\sqrt{1 + CZ^2} - CZ) \cdot \sqrt{1 + CZ^2}\).

Таким образом, угол между прямой C1O и плоскостью равен \(\arccos \left( (\sqrt{1 + CZ^2} - CZ) \cdot \sqrt{1 + CZ^2} \right)\).