В правильной треугольной пирамиде двугранный угол, противоположный ребру основания, равен 30 градусам, а радиус

Для решения этой задачи нам нужно разбить её на несколько шагов:

1. Найдём высоту треугольной пирамиды:

Так как у нас правильная треугольная пирамида, то высота и радиус основания образуют равносторонний треугольник. Обозначим сторону основания через \(a\). Тогда, зная, что радиус описанной окружности равен \(4\sqrt{3}\), можно найти сторону основания:

Диагональ равностороннего треугольника (сторона основания) равна удвоенной высоте, а радиус описанной окружности треугольника равен трети диагонали равностороннего треугольника. Поэтому:

\[2h = 4\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad h = 2\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти сторону основания, воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника:

\[a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 2\sqrt{3} = 4\]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 4 см, а её высота равна \(2\sqrt{3}\) см.

2. Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания равен трём сторонам основания.

Так как основание - правильный треугольник, то \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) кв. см.

3. Найдём площадь основания:

Так как основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний, то площадь основания равна площади равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Площадь основания: \(S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) кв. см.

4. Сложим площадь боковой поверхности и площадь основания, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды:

\[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 12\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\] кв. см.

Итак, площадь полной поверхности данной правильной треугольной пирамиды равна \(16\sqrt{3}\) кв. см.