Определите радиус цилиндра r, вписанного в конус с образующей l = 3 см, при условии, что прямая, проведенная через

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами школьной геометрии и тригонометрии.

1. Начнем с определения высоты конуса \(h\). Мы знаем, что угол между образующей конуса и его высотой равен 45°. Воспользуемся тригонометрическим соотношением:
\[
\sin 45^\circ = \frac{h}{l}
\]
Поскольку \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), имеем:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{3}
\]
Теперь перейдем к выражению высоты конуса \(h\):
\[
h = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]

2. Теперь перейдем к определению радиуса цилиндра \(r\), вписанного в этот конус. Мы знаем, что прямая, проведенная через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует угол 30° с основанием конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом цилиндра \(r\), половиной высоты конуса \(h/2\) и половиной образующей конуса \(l/2\).
Применим тригонометрические соотношения:
\(\tan 30^\circ = \frac{r}{l/2}\)
Поскольку \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), мы можем записать:
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{l/2}\)
Теперь выразим радиус цилиндра \(r\):
\(r = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Подставляя значение \(\frac{l}{2} = \frac{3}{2}\) (половина образующей конуса), получаем:
\(r = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(r = \frac{3}{2\sqrt{3}}\)

Итак, радиус цилиндра \(r\) равен \(\frac{3}{2\sqrt{3}}\) см или, округляя до сотых, приближенно 0.87 см.