В правильной четырехугольной пирамиде SABCD имеется сторона основания AB длиной 10 и боковое ребро SA длиной

Для доказательства того, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC, мы воспользуемся свойствами пересекающихся прямых.

Для начала, обратим внимание на точку М на отрезке AB и точку К на отрезке SB. Заметим, что точка М находится на ребре AB, а точка К находится на ребре SB. То есть, М и К лежат в плоскости AB, которую мы обозначим как плоскость P.

Следующий шаг - найти пересечение прямой CK и плоскости P. Для этого рассмотрим проекции этих прямых на плоскость ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, так как это сторона основания правильной четырехугольной пирамиды. Таким образом, мы знаем, что угол А равен 90 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник CKA. Мы знаем, что точка К находится на ребре SB, а точка А находится на ребре AB. То есть, прямая KA лежит в плоскости ABC и пересекает сторону AB в точке А. Поскольку прямая KA лежит в плоскости ABC, она пересекает эту плоскость и в точке B.

Теперь рассмотрим треугольник CKM. Он образован точками К, С и М. Мы знаем, что точки К и М лежат в плоскости AB, следовательно, прямая KM также лежит в плоскости AB. Значит, прямая KM пересекает плоскость ABC в точке B.

Итак, мы доказали, что прямые KA и KM пересекают плоскость ABC в одной и той же точке B. То есть, прямая CK лежит в плоскости ABC. Но прямая CK также проходит через точку К на ребре SB. Следовательно, она пересекает плоскость ABC в точке K.

Таким образом, мы доказали, что прямая CK лежит в плоскости ABC и пересекает ее в точках B и K. Значит, плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

Теперь перейдем к нахождению объема пирамиды BCKM. Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{основания}}\cdot h$$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Мы знаем, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC, поэтому линия CK является высотой пирамиды BCKM.

Для нахождения площади основания пирамиды BCKM, нам понадобится площадь треугольника BCK. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по половине произведения двух его сторон и синуса между ними:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BK\cdot \sin (\mathrm{\angle }BCK)$$

Теперь вычислим значение площади основания и высоты пирамиды:

$$\begin{array}{rl}{S}_{\text{основания}}& =\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BK\cdot \sin (\mathrm{\angle }BCK)\\ & =\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin ({90}^{\circ })\\ & =30\end{array}$$

Обратите внимание, что синус угла ${90}^{\circ }$ равен единице.

Теперь, обращаясь к формуле объема пирамиды, вычислим объем:

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{1}{3}\cdot S_{\text{основания}}\cdot h\\ & =\frac{1}{3}\cdot 30\cdot 15\\ & =150\end{array}$$

Таким образом, объем пирамиды BCKM равен 150 объемным единицам (кубическим единицам).

Надеюсь, этот ответ был понятен и полезен вам! Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь!