Каково значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠C = 90° и sinB = 33–√1010−−√?

Чтобы найти значение \( \cos(2B) \) в треугольнике ABC, нам потребуется использовать несколько свойств тригонометрии и известную информацию об углах треугольника. Для начала, давайте представим треугольник и приступим к решению.

У нас есть треугольник ABC, в котором \(\angle C = 90^\circ\). Так как синус - это отношение противоположенной стороны и гипотенузы, мы можем использовать это свойство, чтобы найти значение синуса угла B.

Дано: \(\sin B = \frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\)

Для начала, найдем катет \(AC\). Так как у нас прямоугольный треугольник, можно использовать теорему Пифагора:

\[AC^2 = BC^2 + AB^2\]
\[AC^2 = BC^2 + BC^2\] (так как треугольник прямоугольный и стороны BC и AB равны)
\[AC^2 = 2BC^2\]
\[AC = BC \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти значение \( \cos(2B) \), нам потребуется знать значение самого угла B. Воспользуемся свойством синуса и найдем \( \cos B \):

\(\sin B = \frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\)

Мы знаем, что \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\). Подставим значение синуса, чтобы найти значение косинуса:

\(\left(\frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\right)^2 + \cos^2 B = 1\)

\(\frac{(33 - \sqrt{101})^2}{10} + \cos^2 B = 1\)

Упростим выражение:

\(\frac{1089 - 66\sqrt{101} + 101}{10} + \cos^2 B = 1\)

\(\frac{1190 - 66\sqrt{101}}{10} + \cos^2 B = 1\)

\(\cos^2 B = 1 - \frac{1190 - 66\sqrt{101}}{10}\)

\(\cos^2 B = \frac{10 - (1190 - 66\sqrt{101})}{10}\)

\(\cos^2 B = \frac{10 - 1190 + 66\sqrt{101}}{10}\)

\(\cos B = \pm \sqrt{\frac{10 - 1190 + 66\sqrt{101}}{10}}\)

Так как угол \(B\) - острый угол, значения косинуса должны быть положительными. Таким образом,

\(\cos B = \sqrt{\frac{10 - 1190 + 66\sqrt{101}}{10}}\)

Теперь, чтобы найти значение \( \cos(2B) \), мы воспользуемся формулой двойного угла:

\[ \cos(2B) = 1 - 2\sin^2 B \]

Подставим значение синуса:

\[ \cos(2B) = 1 - 2\left(\frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\right)^2 \]

Вычислим значение:

\[ \cos(2B) = 1 - 2\left(\frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\right)^2 \approx 0.969 \]

Таким образом, значение \( \cos(2B) \) в треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\sin B = \frac{33 - \sqrt{101}}{\sqrt{10}}\), примерно равно 0.969.