Сколько всего клеток вырезал Петя из клетчатой бумаги на все стороны прямоугольников, периметр которых равен числу

Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть все возможные прямоугольники, периметр которых равен числу клеток. Затем определим, сколько клеток в каждом прямоугольнике вырезал Петя.

Пусть длина прямоугольника равна \(a\), а ширина равна \(b\), где \(a\) и \(b\) - натуральные числа. Тогда периметр такого прямоугольника будет равен \(2a + 2b\).

Таким образом, уравнение для периметра имеет вид:
\[2a + 2b = 75\]

Рассмотрим все возможные значения для \(a\) и \(b\) такие, что периметр равен 75:

- При \(a = 1\) и \(b = 37\): \(2 \cdot 1 + 2 \cdot 37 = 75\)
- При \(a = 3\) и \(b = 35\): \(2 \cdot 3 + 2 \cdot 35 = 75\)
- При \(a = 5\) и \(b = 33\): \(2 \cdot 5 + 2 \cdot 33 = 75\)
- При \(a = 7\) и \(b = 31\): \(2 \cdot 7 + 2 \cdot 31 = 75\)
- При \(a = 9\) и \(b = 29\): \(2 \cdot 9 + 2 \cdot 29 = 75\)
- При \(a = 11\) и \(b = 27\): \(2 \cdot 11 + 2 \cdot 27 = 75\)
- При \(a = 13\) и \(b = 25\): \(2 \cdot 13 + 2 \cdot 25 = 75\)
- При \(a = 15\) и \(b = 23\): \(2 \cdot 15 + 2 \cdot 23 = 75\)
- При \(a = 17\) и \(b = 21\): \(2 \cdot 17 + 2 \cdot 21 = 75\)
- При \(a = 19\) и \(b = 19\): \(2 \cdot 19 + 2 \cdot 19 = 75\)

Таким образом, мы нашли все возможные значения для пар \(a\) и \(b\), при которых периметр равен 75.

После нахождения всех пар значений, мы можем вычислить, сколько клеток Петя вырезал из каждого прямоугольника. Для этого используем формулу площади прямоугольника: \(S = a \cdot b\).

Для пары значений \(a = 1\) и \(b = 37\) количество клеток будет равно \(1 \cdot 37 = 37\).

Для пары значений \(a = 3\) и \(b = 35\) количество клеток будет равно \(3 \cdot 35 = 105\).

Аналогично вычисляем количество клеток для остальных прямоугольников:

- Для \(a = 5\) и \(b = 33\): \(5 \cdot 33 = 165\)
- Для \(a = 7\) и \(b = 31\): \(7 \cdot 31 = 217\)
- Для \(a = 9\) и \(b = 29\): \(9 \cdot 29 = 261\)
- Для \(a = 11\) и \(b = 27\): \(11 \cdot 27 = 297\)
- Для \(a = 13\) и \(b = 25\): \(13 \cdot 25 = 325\)
- Для \(a = 15\) и \(b = 23\): \(15 \cdot 23 = 345\)
- Для \(a = 17\) и \(b = 21\): \(17 \cdot 21 = 357\)
- Для \(a = 19\) и \(b = 19\): \(19 \cdot 19 = 361\)

Таким образом, мы получили все возможные значения клеток, которые мог вырезать Петя из прямоугольников, периметр которых равен 75:

37, 105, 165, 217, 261, 297, 325, 345, 357, 361