В кубе ABCDA1B1C1D1, точка N отмечена на ребре B1A1, а точка M на ребре A1D1. Верно, что B1N:NA1=1:3 и A1M:MD1=1:1

Длина ребра куба, которую мы обозначим за "a", является важной информацией для решения этой задачи. Используя эту информацию, давайте перейдем к ее решению.

Мы знаем, что отношение длины отрезков B1N и NA1 равно 1:3. Это означает, что длина отрезка B1N составляет \(\frac{1}{4}a\), а длина отрезка NA1 равна \(\frac{3}{4}a\). Точно так же, отношение длины отрезков A1M и MD1 равно 1:1, поэтому длины отрезков A1M и MD1 также равны \(\frac{1}{2}a\).

Теперь давайте взглянем на треугольник A1BN. Он состоит из двух прямых отрезков, AM и BN. Мы хотим найти косинус угла \(\alpha\) между этими прямыми.

Косинус угла между двумя прямыми можно определить с использованием формулы косинусов для треугольника. Формула выглядит следующим образом:

\[\cos(\alpha) = \frac{{AM^2 + BN^2 - AB^2}}{{2 \cdot AM \cdot BN}}\]

Теперь давайте найдем значения, которые нам нужны для подстановки в эту формулу. Мы знаем, что длина отрезка AM равна \(\frac{1}{2}a\) и что длина отрезка BN равна \(\frac{1}{4}a\).

Поскольку куб имеет равные длины всех ребер, длина отрезка AB, а также длины отрезков AD, A1B1 и A1D1 будут равны a.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу косинусов:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(\frac{1}{4}a\right)^2 - a^2}}{{2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{4}a}}\]

Упростим числитель:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{16}a^2 - a^2}}{{\frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{4}a}}\]

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{5}{16}a^2 - a^2}}{{\frac{1}{8}a^2}}\]

Вынесем общий множитель a^2 из числителя:

\[\cos(\alpha) = \frac{{a^2 \left(\frac{5}{16} - 1\right)}}{{\frac{1}{8}a^2}}\]

Упростим:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{5}{16} - 1}}{{\frac{1}{8}}}\]

\[\cos(\alpha) = \frac{{-11}}{{16}}\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми BN и AM равен \(-\frac{{11}}{{16}}\).