Будь ласка, знайдіть довжину третьої сторони трикутника з відомим співвідношенням 5:3 між двома сторонами та кутом

Периметр трикутника - сума довжини всіх його сторін. Щоб знайти довжину третьої сторони, спочатку потрібно знайти довжини двох інших сторін.

За умовою задачі, співвідношення між двома сторонами трикутника є 5:3. Давайте позначимо довжину першої сторони як 5x, а другої сторони як 3x. Тепер нам потрібно знайти третю сторону.

В задачі також вказано, що між першими двома сторонами трикутника є кут 120 градусів. Це означає, що ми можемо використовувати теорему косинусів для визначення третьої сторони трикутника.

Теорема косинусів говорить нам, що квадрат третьої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів інших двох сторін, помноженій на косинус внутрішнього кута між ними. У нашому випадку, цей кут - 120 градусів.

Можемо записати формулу теореми косинусів:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Тут \(c\) - довжина третьої сторони, \(a\) - довжина першої сторони, \(b\) - довжина другої сторони, а \(C\) - внутрішній кут між першою і другою стороною.

Підставляємо відомі значення:
\[ c^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (3x) \cdot \cos(120^\circ) \]

Знаходимо значення косинуса 120 градусів:
\[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]

Підставляємо це значення в формулу:
\[ c^2 = 25x^2 + 9x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

Спрощуємо вираз:
\[ c^2 = 25x^2 + 9x^2 + 15x^2 \]

Об"єднуємо подібні члени:
\[ c^2 = 49x^2 \]

Беремо квадратний корінь від обох боків:
\[ c = \sqrt{49x^2} \]

Отримуємо:
\[ c = 7x \]

Таким чином, довжина третьої сторони трикутника дорівнює 7x.