В каких пропорциях точка K делит сторону квадрата ABCD, если она равноудалена от вершины A и середины стороны

Для решения этой задачи будем использовать свойства симметрии квадрата. Чтобы точка K была равноудалена от вершины A и середины стороны, возьмем квадрат ABCD и нарисуем две хорды, отрезки, проходящие через точку K и параллельные стороне AB. Обозначим точки пересечения этих хорд со стороной AB как M и N, где M - середина стороны AB, а N - точка, равноудаленная от вершины A.

Теперь у нас есть два треугольника: AMK и ANK. Поскольку точка K находится на хорде AM, а хорда AM параллельна стороне AB, треугольники AMK и ANK подобны. То же самое можно сказать о треугольниках BCK и ACN, так как точка K находится на хорде CN, а хорда CN параллельна стороне AB.

Используя это знание, мы можем записать отношение длин соответствующих сторон треугольников:

\(\frac{AM}{AN} = \frac{MK}{NK}\)

\(\frac{MK}{NK} = \frac{BC}{AC}\)

Но мы знаем, что AM = AN, так как точка K равноудалена от вершины A и середины стороны, поэтому AM/AN = 1.

Таким образом, получаем:

\(\frac{1}{AC} = \frac{MK}{NK} = \frac{BC}{AC}\)

Теперь решим эту пропорцию относительно MK:

\(\frac{1}{AC} = \frac{MK}{NK}\)

Перемножим обе стороны на NK:

\(NK = AC \cdot MK\)

Из этого соотношения следует, что отношение NK к MK равно AC. Таким образом, точка K делит сторону AB в пропорции AC : BC.

Ответ: Точка K делит сторону AB в пропорции AC : BC.