В городе имеется два водозабора. Вероятность превышения предельно допустимого значения патогенных бактерий в воде

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Байеса. Пусть событие A - проба воды содержит количество патогенных бактерий, превышающее предельно допустимое значение, а событие B - проба воды была взята из первого водозабора.

Вероятность события B, обозначенная как P(B), равна количеству проб воды из первого водозабора, деленному на общее количество проб:
\[P(B) = \frac{20}{20+30} = \frac{2}{5}\]

Вероятность события A при условии B, обозначенная как P(A|B), равна вероятности превышения предельно допустимого значения патогенных бактерий при известном, что проба была взята из первого водозабора, т.е. 0.05:
\[P(A|B) = 0.05\]

Вероятность события A при условии, что проба была взята из второго водозабора, обозначенная как P(A|¬B), равна вероятности превышения предельно допустимого значения патогенных бактерий для второго водозабора, т.е. 0.01:
\[P(A|¬B) = 0.01\]

Теперь можем применить формулу Байеса, чтобы найти вероятность P(B|A), т.е. вероятность того, что проба воды была взята из первого водозабора, при условии, что она содержит количество патогенных бактерий, превышающее предельно допустимое значение:

\[P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A|B) \cdot P(B) + P(A|¬B) \cdot P(¬B)}\]

где P(¬B) - вероятность события ¬B, то есть проба воды была взята из второго водозабора:
\[P(¬B) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\]

Подставляя значения, получим:
\[P(B|A) = \frac{0.05 \cdot \frac{2}{10}}{0.05 \cdot \frac{2}{10} + 0.01 \cdot \frac{3}{10}} = \frac{0.01}{0.01 + 0.03} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, вероятность того, что проба воды, содержащая количество патогенных бактерий, превышающее предельно допустимое значение, была взята из первого водозабора, равна \(\frac{1}{4}\) или 0.25.