Уроки по геометрии восьмого класса. Балаян

Конечно! Давайте начнем с объяснения понятия биссектрисы треугольника. Биссектриса - это отрезок, который делит угол на два равных угла. Для нахождения биссектрисы угла ABC необходимо провести луч AD, где точка D - точка пересечения биссектрисы с стороной BC.

Теперь перейдем к пошаговому решению задачи: Дан треугольник ABC, в котором известны стороны AB = 6 см, AC = 8 см и угол BAC = 60 градусов. Найдем длину биссектрисы треугольника.

1. Найдем угол при вершине треугольника BAC с помощью закона косинусов. Обозначим этот угол через x.
\[ \cos(x) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]
\[ \cos(x) = \frac{8^2 + 6^2 - BC^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} \]
\[ \cos(x) = \frac{64 + 36 - BC^2}{96} \]
\[ \cos(x) = \frac{100 - BC^2}{96} \]

Так как угол BAC = 60 градусов, то \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Подставим это значение в уравнение:
\[ \frac{1}{2} = \frac{100 - BC^2}{96} \]
\[ 48 = 100 - BC^2 \]
\[ BC^2 = 100 - 48 \]
\[ BC^2 = 52 \]

2. Найдем сторону BC:
\[ BC = \sqrt{52} \]
\[ BC \approx 7.21 \, см \]

3. Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)} \]
\[ где \: p = \frac{AB + AC + BC}{2} \]
\[ p = \frac{6 + 8 + 7.21}{2} \]
\[ p = \frac{21.21}{2} \]
\[ p = 10.605 \]

\[ S = \sqrt{10.605 \cdot (10.605 - 6) \cdot (10.605 - 8) \cdot (10.605 - 7.21)} \]
\[ S = \sqrt{10.605 \cdot 4.605 \cdot 2.605 \cdot 3.395} \]
\[ S = \sqrt{143.153} \]
\[ S \approx 11.96 \, см^2 \]

Таким образом, длина биссектрисы треугольника ABC при угле BAC = 60 градусов примерно равна 11.96 см.