1. Какое расстояние от точки M до плоскости квадрата можно найти, если M удалена от всех вершин квадрата ABCD

Давайте начнем с первой задачи.

1. Для решения этой задачи, нам необходимо определить расстояние от точки M до плоскости квадрата ABCD. Первым шагом мы можем найти длину стороны квадрата, зная его площадь.

Площадь квадрата равна $S = 128 \, \text{см}^2$. Так как квадрат имеет все стороны одинаковой длины, обозначим длину стороны через \(a\) см.

Формула для площади квадрата:

\[S = a^2\]

Подставляя известное значение площади, получаем:

\[128 = a^2\]

Чтобы найти длину стороны квадрата, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[a = \sqrt{128} = 8 \, \text{см}\]

Теперь у нас есть длина стороны квадрата, равная 8 см. Согласно условию задачи, точка M удалена от всех вершин квадрата на расстояние 17 см. Мы должны найти расстояние от точки M до плоскости квадрата.

Чтобы найти это расстояние, мы можем построить перпендикуляр из точки M на одну из сторон квадрата. Расстояние от M до плоскости квадрата будет равно длине этой перпендикулярной линии. Обозначим это расстояние через \(d\).

Поскольку M удалена от каждой вершины на 17 см, то она находится на расстоянии 17 см от середины каждой стороны квадрата. Расстояние от M до середины стороны квадрата также будет равно \(d = 17 \, \text{см}\).

Рассмотрим одну из сторон квадрата. Длина каждой стороны равна 8 см, а расстояние от середины стороны к линии M равно 17 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение \(d\) (расстояние от точки M до плоскости квадрата).

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется формула:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Применяя эту формулу к нашей ситуации и обозначая \(a\) как 8 см (длина стороны квадрата) и \(b\) как 17 см (расстояние от середины стороны к линии M), получаем:

\[d^2 = 8^2 + 17^2\]
\[d^2 = 64 + 289\]
\[d^2 = 353\]

Теперь мы можем найти значение \(d\), взяв квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[d = \sqrt{353} \approx 18.8 \, \text{см}\]

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости квадрата составляет примерно 18.8 см.

2. Давайте перейдем ко второй задаче.

У нас есть треугольник MNP, в котором сторона NP равна \(8\sqrt{3}\) см. Мы должны найти расстояние от точки O до стороны NP, если оно перпендикулярно к этой стороне.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться понятием высоты треугольника. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на основание или продолжение основания.

В нашем случае, мы имеем правильный треугольник MNP, что означает, что высота треугольника будет также выступать в качестве медианы и биссектрисы.

Так как мы ищем расстояние от точки O до стороны NP, мы на самом деле ищем высоту треугольника, проходящую через точку O. Обозначим расстояние от точки O до стороны NP через \(h\).

Так как треугольник MNP - правильный, у него есть специальные связи между его сторонами и высотой. Мы можем использовать эти связи для решения задачи.

В правильном треугольнике, высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) умножить на длину стороны треугольника.

Таким образом,

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{см}\]

Таким образом, расстояние от точки O до стороны NP равно 12 см.