Уравнение окружности: x2+y2=36. Уравнение прямой: x=a. Определить значения a, при которых: 1. прямая пересекается

Хорошо, давайте решим задачу по шагам, чтобы ответ был понятен школьнику.

У нас есть уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 36\) и уравнение прямой: \(x = a\).

1. Чтобы найти значения \(a\), при которых прямая пересекается с окружностью ровно в одной точке, необходимо подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученное квадратное уравнение.

\(\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 36 \\
a^2 + y^2 &= 36 \\
y^2 &= 36 - a^2 \\
y &= \pm \sqrt{36 - a^2}
\end{align*}\)

Если мы хотим, чтобы прямая пересекалась с окружностью ровно в одной точке, значит, у нас должно быть только одно значение для \(y\), то есть \(\sqrt{36 - a^2} = - \sqrt{36 - a^2}\). Решим это уравнение:

\(\sqrt{36 - a^2} = - \sqrt{36 - a^2}\)

\(36 - a^2 = a^2 - 36\)

\(2a^2 = 72\)

\(a^2 = 36\)

\(a = \pm 6\)

Таким образом, прямая пересекается с окружностью ровно в одной точке при значениях \(a = 6\) или \(a = -6\).

2. Чтобы найти значения \(a\), при которых прямая пересекается с окружностью ровно в двух точках, мы должны иметь два различных значения для \(y\) при подстановке \(x = a\) в уравнение окружности.

Используя уравнение прямой и уравнение окружности, получаем:

\(\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 36 \\
a^2 + y^2 &= 36 \\
y^2 &= 36 - a^2 \\
y &= \pm \sqrt{36 - a^2}
\end{align*}\)

У нас должно быть два различных значения для \(y\), поэтому \(\sqrt{36 - a^2} \neq - \sqrt{36 - a^2}\). Решим это уравнение:

\(\sqrt{36 - a^2} \neq - \sqrt{36 - a^2}\)

\(36 - a^2 \neq a^2 - 36\)

\(2a^2 \neq 72\)

\(a^2 \neq 36\)

\(a \neq \pm 6\)

Таким образом, прямая пересекается с окружностью ровно в двух точках для всех значений \(a\), кроме \(a = 6\) и \(a = -6\).

3. Чтобы найти значения \(a\), при которых прямая не пересекается с окружностью, нам нужно проверить, есть ли такие значения \(a\), при которых подстановка \(x = a\) в уравнение окружности не дает нам решений.

Если \(x = a\), то уравнение окружности примет вид \(a^2 + y^2 = 36\).

Если мы хотим, чтобы данное уравнение не имело решений, то нам нужно, чтобы \(a^2 + y^2 < 36\) для всех значений \(y\).

Это условие выполняется для всех значений \(a\), кроме \(a = 6\) и \(a = -6\).

Таким образом, прямая не пересекается с окружностью для всех значений \(a\), кроме \(a = 6\) и \(a = -6\).