Яка площа трапеції, основи якої дорівнюють 13 см і 37 см, а її діагоналі перпендикулярні?

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

\[ S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \]

Где:
\( a \) и \( b \) - основания трапеции,
\( h \) - высота трапеции.

В данной задаче нам даны основания трапеции, а также известно, что диагонали перпендикулярны. Диагонали любой трапеции делят ее на 4 треугольника. Поскольку диагонали перпендикулярны, то мы можем предположить, что диагонали являются высотами этих треугольников.

Для начала найдем высоту трапеции, используя теорему Пифагора для одного из треугольников:

\[ h^2 = c^2 - a^2 \]

Где:
\( c \) - длина диагонали,
\( a \) - половина одного из оснований. В данном случае, \( a = \frac{13}{2} \).

Для первой диагонали \( c_1 \):

\[ h_1^2 = c_1^2 - a^2 \]
\[ h_1^2 = c_1^2 - \left(\frac{13}{2}\right)^2 \]

Аналогично, для второй диагонали \( c_2 \):

\[ h_2^2 = c_2^2 - \left(\frac{37}{2}\right)^2 \]

Таким образом, нам нужно найти длины диагоналей. Две диагонали трапеции могут быть найдены через основания и угол между ними с помощью тригонометрии.

По определению, мы знаем, что диагонали перпендикулярны, поэтому эти диагонали являются гипотенузами двух прямоугольных треугольников. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ c_1^2 = \left( \frac{37}{2} \right)^2 + h_1^2 \]
\[ c_2^2 = \left( \frac{13}{2} \right)^2 + h_2^2 \]

Теперь у нас есть две уравнения и два неизвестных. Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения длин диагоналей \( c_1 \) и \( c_2 \).

После нахождения длин диагоналей, мы можем искать площадь трапеции, используя формулу:

\[ S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \]

Подставим известные значения и найденные длины диагоналей для нахождения площади. Ответ округлим до нужного количества знаков после запятой, чтобы было понятно школьнику.