Укажите верные свойства, если: 1. a^(1/2) ⋅ a = a^2 2. a^(1/2) - b^(1/2) = (a - b)^(1/2) 3. a^(1/2) ÷ b^(1/2)

Давайте рассмотрим каждое свойство по отдельности и докажем его.

1. Свойство \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a = a^2\). Для доказательства данного свойства воспользуемся свойством степеней с одинаковым показателем:
\[a^m \cdot a^n = a^{m + n}.\]
В данном случае, у нас \(m = \frac{1}{2}\) и \(n = 1\), поэтому:
\[a^{\frac{1}{2}} \cdot a^1 = a^{\frac{1}{2} + 1} = a^{\frac{3}{2}}.\]
Заметим, что \(\frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}\), поэтому можно применить свойство корня из степени:
\[a^{\frac{3}{2}} = (a^2)^{\frac{1}{2}} = a^2.\]
Таким образом, свойство \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a = a^2\) верно.

2. Свойство \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a - b)^{\frac{1}{2}}\). Давайте проверим, выполняется ли данное свойство. Рассмотрим пример с \(a = 9\) и \(b = 4\). Подставим значения в обе части равенства:
Левая часть: \(9^{\frac{1}{2}} - 4^{\frac{1}{2}} = 3 - 2 = 1\).
Правая часть: \((9 - 4)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\).
Заметим, что \(\sqrt{5}\) не равно 1. Поэтому свойство \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a - b)^{\frac{1}{2}}\) неверно.

3. Свойство \(a^{\frac{1}{2}} \div b^{\frac{1}{2}} = (a \div b)^{\frac{1}{2}}\). Проверим данное свойство. Рассмотрим пример с \(a = 9\) и \(b = 4\). Подставим значения в обе части равенства:
Левая часть: \(9^{\frac{1}{2}} \div 4^{\frac{1}{2}} = 3 \div 2 = \frac{3}{2}\).
Правая часть: \((9 \div 4)^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{4}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\).
Заметим, что значения в обеих частях равенства совпадают. Поэтому свойство \(a^{\frac{1}{2}} \div b^{\frac{1}{2}} = (a \div b)^{\frac{1}{2}}\) верно.

4. Свойство \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a, a \geq 0\). Данное свойство является обратным свойству корня из степени. Извлекая квадратный корень из \(a^2\), мы получаем исходное значение \(a\). Однако, здесь мы должны учесть, что у нас есть ограничение \(a \geq 0\), потому что отрицательное число возводимое в квадрат даст положительный результат. В случае отрицательного \(a\) свойство не будет соблюдаться. Следовательно, свойство \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a, a \geq 0\) верно только при \(a \geq 0\).

5. Свойство \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a = a, a \geq 0\). Рассмотрим данное свойство. Подставим значение \(a = 4\) в обе части равенства:
Левая часть: \(4^{\frac{1}{2}} \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8\).
Правая часть: \(4\).
Заметим, что значения в левой и правой части равенства не совпадают. Поэтому свойство \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a = a, a \geq 0\) неверно.

В результате, свойства 1, 3 и 4 верны, а свойства 2 и 5 неверны.