У вас есть доска размером 30 х х клеток, на которой расставлены несколько ладей таким образом, что каждая ладья атакует

Добро пожаловать на урок, где я объясню, как доказать, что \(х\) делится на \(8\) в задаче про расстановку ладей на доске!

Дано:
У нас есть доска размером \(30 \times х\) клеток, на которой расставлены несколько ладей таким образом, что каждая ладья атакует ровно одну другую. При этом в каждой вертикали и горизонтали присутствует как минимум одна ладья.

Задача:
Нам необходимо доказать, что \(х\) делится на 8.

Доказательство:
Для начала, давайте рассмотрим, сколько ладей может быть расставлено на одной горизонтали или вертикали. Поскольку каждая ладья атакует только одну другую, то в каждой горизонтали и вертикали может быть расположена только одна ладья. Из этого следует, что на доске размером \(30 \times х\), где \(х\) - количество клеток на горизонтали, может быть расставлено ровно \(х\) ладей.

Теперь, чтобы доказать, что \(х\) делится на 8, нам нужно доказать, что \(х\) делится одновременно на 2 и на 4.

1. Докажем, что \(х\) делится на 2.
Заметим, что в каждой горизонтали нашей доски находится по одной ладье. Так как мы имеем \(30\) горизонталей, то общее количество ладей равно \(30\). Раз общее количество ладей делится на \(2\) (так как число \(30\) делится на \(2\)), то и количество клеток на горизонтали (\(х\)) также должно делиться на \(2\). Таким образом, мы доказали, что \(х\) делится на 2.

2. Докажем, что \(х\) делится на 4.
Для этого рассмотрим возможные значения \(х\):
- Если \(х\) четное, то деление на \(4\) выполняется без остатка. Это очевидно, так как любое четное число делится на \(2\), а значит, оно делится и на \(4\) (так как любой множитель числа \(2\) также является множителем числа \(4\)).
- Если \(х\) нечетное, то рассмотрим границы, в которых может находиться количество ладей \(х\). Так как в каждой горизонтали есть ладья, то минимальное значение \(х\) равно \(8\) (очевидно, что одной ладье нужно как минимум \(8\) клеток). Также, по условию задачи, в каждом столбце тоже должна быть ладья, а значит, наша доска может иметь не менее \(8\) столбцов. Если \(х\) равно \(8\), то \(х\) делится на \(4\) без остатка. Если \(х\) больше \(8\), то в каждом столбце можно разместить ладью, используя как минимум \(2\) клетки, и оставшиеся клетки заполнить парами (для каждой пары клеток будет размещена одна ладья, а оставшиеся ладьи будет расположены по одной на каждой горизонтали). Таким образом, каждая пара клеток будет вносить в деление на \(4\) вклад \(4\), а количество ладей, расположенных в каждом столбце, будет вносить в деление на \(4\) вклад \(1\). Суммируя все вклады в деление на \(4\), мы получим, что \(х\) также делится на \(4\).

Таким образом, мы доказали, что \(х\) делится на 2 и на 4, а значит, \(х\) делится на 8.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас остались дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!