1. В классе, в котором учится 20 студентов, из них 15 женщин и 5 мужчин. Учитель пригласил к доске двух студентов

Для решения данной задачи, нам необходимо знать общее количество студентов, количество мужчин и количество женщин в классе.

По условию задачи, в классе учится 20 студентов, из которых 15 женщин и 5 мужчин.

Первым шагом рассчитаем вероятность того, что к доске пригласят двух мужчин. Для этого необходимо определить количество способов выбрать двух мужчин из общего числа студентов.

Количество способов выбрать двух мужчин из 5-ти заранее определенных мужчин равно:

\[\binom{5}{2}\]

Поскольку порядок выбора студентов не имеет значения, мы используем биномиальный коэффициент для комбинаторики. Этот коэффициент определяется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Для нашей задачи (выбор двух мужчин из 5) мы можем вычислить:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]

Понятно, что всего 20 студентов и нам нужно выбрать 2. Поэтому общее количество способов выбрать 2 студента из 20 равно:

\[\binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190\]

Таким образом, вероятность того, что двух студентов будут мужчины, составляет:

\[P(\text{два мужчины}) = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{10}{190} = \frac{1}{19}\]

Теперь рассмотрим вероятность того, что к доске пригласят одного мужчину и одну женщину. Для этого необходимо определить количество способов выбрать одного мужчину из 5 и одну женщину из 15.

Количество способов выбрать мужчину и женщину из соответствующих групп:

\[\binom{5}{1} \cdot \binom{15}{1} = 5 \cdot 15 = 75\]

Вероятность того, что приглашены студенты разного пола, равна:

\[P(\text{мужчина и женщина}) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{15}{1}}{\binom{20}{2}} = \frac{75}{190} = \frac{3}{38}\]

Таким образом, вероятность того, что приглашены два мужчины составляет \(\frac{1}{19}\), а вероятность того, что приглашены один мужчина и одна женщина составляет \(\frac{3}{38}\).