У правильній чотирикутній піраміді SABCD проведено площину, паралельну бічному ребру SA, через середини сторін AB

Для решения этой задачи, нам необходимо проанализировать геометрические свойства пирамиды и ее перерезывающих плоскостей.

Поскольку площадь основания пирамиды равна $S_{ABCD}=(\sqrt{2}{)}^2=2$, то площадь перерезающей плоскости составит некоторую долю от этой площади.

Заметим, что перерезающая плоскость проходит через середины сторон AB и AD. Таким образом, она делит боковые грани пирамиды на два треугольника. Давайте обозначим точку пересечения перерезающей плоскости с боковым ребром SA как точку M.

Так как плоскость параллельна боковому ребру SA, то треугольники SAM и MBC подобны друг другу с коэффициентом подобия, равным отношению длин соответствующих сторон. То есть, $\frac{AM}{MB}=\frac{SA}{BC}$.

Так как AM и MB - медианы треугольника SAB, то они равны между собой. Давайте обозначим их длину как h.

Так как сторона основания пирамиды имеет длину $\sqrt{2}$, то длины других сторон равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольнику SAB, получим:
$S{A}^2=h^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$
$2=h^2+\frac{1}{2}$
$h^2=\frac{3}{2}$
$h=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Таким образом, длина высоты треугольника SAB равна $\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Теперь мы можем легко найти длину бокового ребра пирамиды. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника SAM:
$S{M}^2=h^2+A{M}^2$
$S{A}^2=h^2+h^2$
$S{A}^2=2h^2$
$SA=\sqrt{2}h=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна $\sqrt{3}$.

Теперь, чтобы найти площадь перерезающей плоскости, нужно рассмотреть отношение площадей подобных треугольников.

Треугольники SAM и MBC подобны друг другу соответственно с коэффициентом подобия, равным отношению длин соответствующих сторон, то есть $\frac{AM}{MB}=\frac{SA}{BC}$. Так как AM и MB - медианы треугольника SAB, они равны.

Таким образом, $\frac{SA}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.

Так как площадь треугольника MBC является частью площади основания пирамиды SABCD, то площадь этого треугольника равна $\frac{1}{2}$ площади основания, то есть $\frac{1}{2}\cdot 2=1$.

Таким образом, площадь перерезающей плоскости равна $1\cdot \sqrt{6}=\sqrt{6}$.

Ответ: Площадь перерезающего плоскости, образованного параллельным боковым ребром пирамиды SABCD через середины сторон AB и AD, равна $\sqrt{6}$.