У правильній чотирикутній піраміді SABCD проведено площину, паралельну бічному ребру SA, через середини сторін AB

Для решения этой задачи, нам необходимо проанализировать геометрические свойства пирамиды и ее перерезывающих плоскостей.

Поскольку площадь основания пирамиды равна \(S_{ABCD} = (\sqrt{2})^2 = 2\), то площадь перерезающей плоскости составит некоторую долю от этой площади.

Заметим, что перерезающая плоскость проходит через середины сторон AB и AD. Таким образом, она делит боковые грани пирамиды на два треугольника. Давайте обозначим точку пересечения перерезающей плоскости с боковым ребром SA как точку M.

Так как плоскость параллельна боковому ребру SA, то треугольники SAM и MBC подобны друг другу с коэффициентом подобия, равным отношению длин соответствующих сторон. То есть, \(\frac{AM}{MB} = \frac{SA}{BC}\).

Так как AM и MB - медианы треугольника SAB, то они равны между собой. Давайте обозначим их длину как h.

Так как сторона основания пирамиды имеет длину \(\sqrt{2}\), то длины других сторон равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольнику SAB, получим:
\(SA^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\(2 = h^2 + \frac{1}{2}\)
\(h^2 = \frac{3}{2}\)
\(h = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Таким образом, длина высоты треугольника SAB равна \(\sqrt{\frac{3}{2}}\).

Теперь мы можем легко найти длину бокового ребра пирамиды. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника SAM:
\(SM^2 = h^2 + AM^2\)
\(SA^2 = h^2 + h^2\)
\(SA^2 = 2h^2\)
\(SA = \sqrt{2}h = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}\)

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна \(\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти площадь перерезающей плоскости, нужно рассмотреть отношение площадей подобных треугольников.

Треугольники SAM и MBC подобны друг другу соответственно с коэффициентом подобия, равным отношению длин соответствующих сторон, то есть \(\frac{AM}{MB} = \frac{SA}{BC}\). Так как AM и MB - медианы треугольника SAB, они равны.

Таким образом, \(\frac{SA}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}\).

Так как площадь треугольника MBC является частью площади основания пирамиды SABCD, то площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2}\) площади основания, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 2 = 1\).

Таким образом, площадь перерезающей плоскости равна \(1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}\).

Ответ: Площадь перерезающего плоскости, образованного параллельным боковым ребром пирамиды SABCD через середины сторон AB и AD, равна \(\sqrt{6}\).