Какова высота треугольника с указанными сторонами? 1) Какова высота треугольника, если его стороны равны 10 см, 10

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для высоты треугольника. Высота треугольника — это отрезок, опущенный из вершины к основанию и перпендикулярный ему. Формула для высоты треугольника выглядит следующим образом:

\[h = \frac{{2 \cdot S}}{{a}}\]

где \(h\) - высота треугольника, \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника.

Теперь давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности и воспользуемся данной формулой.

1) Для первой задачи у нас даны стороны треугольника: 10 см, 10 см и 12 см. Для начала найдем площадь треугольника. Можно воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Вычислим полупериметр:

\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

\[p = \frac{{10 + 10 + 12}}{2} = \frac{{32}}{2} = 16\]

Затем подставим значения в формулу для площади:

\[S = \sqrt{{16 \cdot (16 - 10) \cdot (16 - 10) \cdot (16 - 12)}}\]

\[S = \sqrt{{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4}}\]

\[S = \sqrt{{2^4 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 2^2}} = \sqrt{{2^7 \cdot 3^2}}\]

Чтобы избавиться от корней, можно записать площадь через произведение основания \(a\) и соответствующей высоты \(h\):

\[S = \frac{{a \cdot h}}{2}\]

Из данной формулы можно выразить высоту \(h\):

\[h = \frac{{2 \cdot S}}{a}\]

Подставим полученные значения:

\[h = \frac{{2 \cdot \sqrt{{2^7 \cdot 3^2}}}}{10}\]

2) Перейдем ко второй задаче. Стороны треугольника равны 17 дм, 17 дм и 16 дм. Вычислим полупериметр:

\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

\[p = \frac{{17 + 17 + 16}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25\]

Затем найдем площадь треугольника:

\[S = \sqrt{{25 \cdot (25 - 17) \cdot (25 - 17) \cdot (25 - 16)}}\]

\[S = \sqrt{{25 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9}}\]

\[S = \sqrt{{5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^2}}\]

И по аналогии с предыдущей задачей найдем высоту:

\[h = \frac{{2 \cdot \sqrt{{5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^2}}}}{17}\]

3) Для третьей задачи у нас даны стороны треугольника: 4 дм, 5 дм и 6 дм. Вычислим полупериметр:

\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

\[p = \frac{{4 + 5 + 6}}{2} = \frac{{15}}{2} = 7.5\]

Затем найдем площадь треугольника:

\[S = \sqrt{{7.5 \cdot (7.5 - 4) \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 6)}}\]

\[S = \sqrt{{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5}}\]

\[S = \sqrt{{\frac{{15 \cdot 7}}{{2}} \cdot \frac{{7}}{{2}} \cdot \frac{{5}}{{2}} \cdot \frac{{3}}{{2}}}}\]

\[S = \sqrt{{\frac{{15^3 \cdot 7}}{{2^4}}}}\]

И найдем высоту треугольника:

\[h = \frac{{2 \cdot \sqrt{{\frac{{15^3 \cdot 7}}{{2^4}}}}}}{4}\]

Таким образом, мы нашли высоту треугольника для каждой задачи, используя формулу для высоты треугольника и рассчитав площадь треугольника по формуле Герона. Можно округлить ответ до нужного количества знаков после запятой, если это необходимо. Например, для второй задачи:

\[h \approx \frac{{2 \cdot \sqrt{{5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^2}}}}{17} \approx \frac{{2 \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 3}}{{17}} \approx \frac{{20 \cdot 8 \cdot 3}}{{17}} \approx \frac{{480}}{{17}} \approx 28.24 \, \text{дм}\]