У Кати есть квадратная доска с равными клетками. Сторона доски состоит из нечетного числа клеток. У нее есть мешок

Допустим, что сторона доски состоит из \(n\) клеток, где \(n\) - нечетное число.

У Кати сначала было размещено 2 большие диагонали от угла до угла. Каждая диагональ, за исключением угловых клеток, занимает по две клетки. Таким образом, на этих диагоналях было размещено \(2\cdot (n-2)\) конфет.

После размещения диагоналей ей осталось разместить еще 196 конфет. Таким образом, общее число конфет будет равно \(2\cdot (n-2) + 196\).

Учитывая, что все клетки доски уже заняты конфетами, общее число конфет должно быть равно числу клеток на доске. То есть, получаем следующее уравнение:

\[
2\cdot (n-2) + 196 = n^2
\]

Давайте найдем решение этого уравнения.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
2n - 4 + 196 = n^2
\]

Упростим выражение:

\[
2n + 192 = n^2
\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[
n^2 - 2n - 192 = 0
\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение.

Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

\(a = 1\),
\(b = -2\),
\(c = -192\).

Чтобы найти решения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

В нашем случае:

\[
D = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-192) = 4 + 768 = 772
\]

Так как дискриминант \(D\) положителен, у уравнения есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставим значения:

\[
n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{772}}{2\cdot 1}
\]

Упростим выражение:

\[
n = \frac{2 \pm \sqrt{772}}{2}
\]

Раскроем скобки:

\[
n = 1 \pm \frac{\sqrt{772}}{2}
\]

Возможные значения для \(n\) - это два корня этого уравнения.

Поэтому, у нас есть два варианта:

1) \(n = 1 + \frac{\sqrt{772}}{2}\)

2) \(n = 1 - \frac{\sqrt{772}}{2}\)

Округлим эти значения до целых чисел:

1) \(n \approx 14.49\)

2) \(n \approx -13.49\)

Так как длина стороны доски не может быть отрицательной, мы выбираем значение \(n \approx 14.49\) (округленное до ближайшего большего целого числа), как ответ.

Проверим, чтобы убедиться:

У нас есть 2 большие диагонали, каждая из которых занимает 2 клетки, то есть в сумме они занимают 4 клетки. Прибавим 4 клетки к \(196\) и получим общее количество клеток на доске (200).

Теперь проверим, равно ли это квадрату длины стороны доски. Подставим \(n = 15\) в формулу \(n^2\) и получим \(225\), что равно количеству клеток на доске.

Таким образом, ответ составляет \(n = 15\), т.е. длина стороны доски составляет 15 клеток.