Чему равно значение выражения C06+C16⋅3+C26⋅32+C36⋅33+C46⋅34+C56⋅35+C66⋅36

Question

Математика: Чему равно значение выражения C06+C16⋅3+C26⋅32+C36⋅33+C46⋅34+C56⋅35+C66⋅36, когда разложено по степеням бинома?

Ledyanaya_Magiya_5166 · Accepted Answer

Данное выражение является биномом Ньютона, который имеет следующий вид:

\[(a+b)^n = C_{n0}a^n + C_{n1}a^{n-1}b^1 + C_{n2}a^{n-2}b^2 + \ldots + C_{nn}b^n\]

где \(C_{nr}\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[C_{nr} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

В нашем случае, у нас \(a = 0\) и \(b = 1\), а также \(n = 6\). Подставляя это в формулу, получим:

\[(0+1)^6 = C_{60}\cdot0^6 + C_{61}\cdot0^5\cdot1^1 + C_{62}\cdot0^4\cdot1^2 + C_{63}\cdot0^3\cdot1^3 + C_{64}\cdot0^2\cdot1^4 + C_{65}\cdot0^1\cdot1^5 + C_{66}\cdot0^0\cdot1^6\]

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

\[C_{60} = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{0!6!} = 1\]
\[C_{61} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6\]
\[C_{62} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = 15\]
\[C_{63} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = 20\]
\[C_{64} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = 15\]
\[C_{65} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6\]
\[C_{66} = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6!0!} = 1\]

Подставляя значения биномиальных коэффициентов в выражение, получим:

\[1\cdot0^6 + 6\cdot0^5\cdot1^1 + 15\cdot0^4\cdot1^2 + 20\cdot0^3\cdot1^3 + 15\cdot0^2\cdot1^4 + 6\cdot0^1\cdot1^5 + 1\cdot0^0\cdot1^6 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1\]

Таким образом, значение выражения равно 1.

Чему равно значение выражения C06+C16⋅3+C26⋅32+C36⋅33+C46⋅34+C56⋅35+C66⋅36, когда разложено по степеням бинома?

Ledyanaya_Magiya_5166

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!