Требуется проверить статистику. За определенный период в ночное время в городе Перми было совершено 179 преступлений

Для проверки гипотезы о равенстве вероятностей краж ночью в квартирах в Перми и Березняках, нам потребуются следующие шаги:

Шаг 1: Формулировка гипотезы
Гипотезой нулевой степени, которую будем обозначать как \(H_0\), будет утверждение о равенстве вероятностей краж ночью в квартирах в Перми и Березняках. Формально она записывается так:
\(H_0: p_1 = p_2\),
где \(p_1\) - вероятность кражи ночью в квартирах в Перми,
\(p_2\) - вероятность кражи ночью в квартирах в Березняках.

Альтернативная гипотеза, которую будем обозначать как \(H_1\), будет утверждение о неравенстве вероятностей:
\(H_1: p_1 \neq p_2\).

Шаг 2: Вычисление относительных частот
Для начала нам нужно вычислить относительные частоты краж ночью в квартирах в Перми и Березняках на основе имеющихся данных. В Перми было 179 преступлений, из которых 40 было кражами мобильных телефонов, поэтому относительная частота краж ночью в Перми составляет:
\(\hat{p_1} = \frac{40}{179}\).

В Березняках было 102 преступления, включая 65 краж мобильных телефонов, поэтому относительная частота краж ночью в Березняках составляет:
\(\hat{p_2} = \frac{65}{102}\).

Шаг 3: Построение статистики и принятие решения
Теперь, чтобы проверить гипотезу, нам нужно построить статистику и принять решение на основе заданного уровня значимости. Для этого используем статистику двух независимых выборок, а именно разность пропорций:
\[Z = \frac{(\hat{p_1} - \hat{p_2}) - 0}{\sqrt{\frac{{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}}{n_1} + \frac{{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}}{n_2}}},\]
где \(n_1\) - количество преступлений в Перми,
\(n_2\) - количество преступлений в Березняках.

После вычисления значения \(Z\), мы можем сравнить его с критическим значением \(Z_{\alpha/2}\), где \(\alpha\) - уровень значимости.

Если \(Z\) попадает в критическую область, то мы отвергаем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу. Если \(Z\) не попадает в критическую область, то мы не отвергаем нулевую гипотезу и не принимаем альтернативную гипотезу.

Мы также можем рассчитать критическое значение \(Z_{\alpha/2}\) при использовании таблицы значений нормального распределения или специальных программ.

Теперь, чтобы ответить на ваш последний вопрос о возможности заранее узнать, останется ли принятое решение действительным при увеличении количества преступлений в обоих городах в 7 раз при тех же значениях относительной частоты, нам нужно провести повторный анализ, используя новые данные. Предполагается, что значения относительных частот останутся теми же при увеличении количества преступлений.

Помните, чтобы провести точный анализ, нам потребуется новая выборка данных, чтобы определить относительные частоты с новыми значениями. Только после этого мы сможем провести проверку гипотезы и определить, останется ли принятое решение действительным.