What is the value of (sin14a - sin10a)/(cos3a - cos7a)?

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу. Нам нужно найти значение выражения \(\frac{{\sin(14a) - \sin(10a)}}{{\cos(3a) - \cos(7a)}}\).

Для начала, давайте вспомним несколько основных формул тригонометрии, которые помогут нам решить эту задачу:

1. \(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\)
2. \(\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)\)
3. \(\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\)
4. \(\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)\)

Теперь применим эти формулы к нашей задаче. Давайте начнем с числителя \(\sin(14a) - \sin(10a)\):

\(\sin(14a) - \sin(10a) = \sin(7a + 7a) - \sin(5a + 5a)\)

Используя формулу 1, мы можем записать это выражение как:

\(\sin(7a)\cos(7a) + \cos(7a)\sin(7a) - \sin(5a)\cos(5a) - \cos(5a)\sin(5a)\)

Для знаменателя \(\cos(3a) - \cos(7a)\) мы используем формулу 3:

\(\cos(3a)\cos(7a) - \sin(3a)\sin(7a)\)

Теперь мы можем объединить все эти части и упростить выражение:

\(\frac{{\sin(14a) - \sin(10a)}}{{\cos(3a) - \cos(7a)}} = \frac{{2\sin(7a)\cos(7a) - 2\sin(5a)\cos(5a)}}{{\cos(3a)\cos(7a) - \sin(3a)\sin(7a)}}\)

Мы видим, что у нас есть некоторые похожие члены, которые можно сократить:

\(\frac{{2\sin(7a)\cos(7a) - 2\sin(5a)\cos(5a)}}{{\cos(3a)\cos(7a) - \sin(3a)\sin(7a)}} = \frac{{2(\sin(7a)\cos(7a) - \sin(5a)\cos(5a))}}{{(\cos(3a)\cos(7a) - \sin(3a)\sin(7a))}}\)

Теперь мы можем применить формулу 4 и сократить эти члены:

\(\frac{{2(\sin(7a - 5a))}}{{(\cos(3a + 7a))}} = \frac{{2\sin(2a)}}{{\cos(10a)}}\)

Таким образом, значение выражения \(\frac{{\sin(14a) - \sin(10a)}}{{\cos(3a) - \cos(7a)}}\) равно \(\frac{{2\sin(2a)}}{{\cos(10a)}}\).