Требуется найти значение угла BAC и длину биссектрисы прямоугольного треугольника ABC, если известно, что длина стороны

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы. Давайте начнем с нахождения значения угла BAC.

В прямоугольном треугольнике ABC, прямой угол находится против гипотенузы, то есть стороны AB и BC являются катетами. Обозначим угол BAC как \(\angle BAC\).

Согласно свойству прямоугольного треугольника, сумма мер углов треугольника равна \(180^\circ\). Так как угол BAC и прямой угол (мер которого равна \(90^\circ\)) являются двумя из трех углов треугольника ABC, то сумма мер углов BAC и прямого угла должна быть равна \(180^\circ\). Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(\angle BAC + 90^\circ = 180^\circ\)

Вычитаем \(90^\circ\) из обеих сторон уравнения:

\(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ\)

Упрощаем выражение:

\(\angle BAC = 90^\circ\)

Таким образом, значение угла BAC равно \(90^\circ\).

Теперь перейдем к нахождению длины биссектрисы треугольника ABC. Обозначим длину биссектрисы как \(BE\), где точка \(E\) - точка пересечения биссектрисы с гипотенузой \(AC\).

В прямоугольном треугольнике ABC, биссектриса делит угол BAC на два равных угла, то есть \(\angle BAE\) и \(\angle EAC\) являются равными. Также, согласно свойству биссектрисы, она делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. Обозначим длину отрезка \(BE\) как \(x\).

Используя данные из задачи, имеем:

\(AC = 10\)

Тогда, согласно свойству пропорций с биссектрисой, мы можем записать уравнение:

\(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\)

Заменяем известные значения:

\(\frac{x}{10 - x} = \frac{AB}{5}\)

Умножаем обе стороны уравнения на \(5(10 - x)\):

\(5x = AB(10 - x)\)

Раскрываем скобки:

\(5x = 10AB - ABx\)

Прибавляем \(ABx\) к обеим сторонам уравнения:

\(6x = 10AB\)

Теперь давайте воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)

Подставляем известные значения:

\(AB^2 + 5^2 = 10^2\)

\(AB^2 + 25 = 100\)

Вычитаем 25 из обеих сторон уравнения:

\(AB^2 = 75\)

Находим квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(AB = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)

Теперь подставим значение \(AB\) в уравнение:

\(6x = 10(5\sqrt{3})\)

Упрощаем выражение:

\(6x = 50\sqrt{3}\)

Делим обе стороны уравнения на 6:

\(x = \frac{50\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{3}\)

Таким образом, длина биссектрисы \(BE\) равна \(\frac{25\sqrt{3}}{3}\).

Итак, полученное решение задачи: значение угла BAC равно \(90^\circ\), а длина биссектрисы \(BE\) равна \(\frac{25\sqrt{3}}{3}\).