The company is offering a batch of 10 computers for sale, 4 of which have defects. The buyer purchases 5 of them

Хорошо, давайте начнем с создания закона распределения вероятностей для случайной величины \(X\) - количество компьютеров с дефектами.

У нас имеется пакет из 10 компьютеров, 4 из которых имеют дефекты. Покупатель приобретает 5 компьютеров, не зная о потенциальных дефектах. Для создания закона распределения, нам необходимо рассмотреть возможные значения для \(X\), а именно 0, 1, 2, 3, 4 (поскольку в пакете всего 4 компьютера с дефектами).

Теперь давайте рассмотрим каждое из возможных значений \(X\) и найдем вероятность их появления:

1. \(X = 0\) - нет компьютеров с дефектами.
Вероятность этого события можно рассчитать как вероятность выбрать 5 компьютеров, которые не имеют дефектов из 6 доступных (10 компьютеров минус 4 компьютера с дефектами), в сочетании из 5, деленное на общее количество возможных сочетаний 5 компьютеров из 10:
\[P(X = 0) = \frac{{C(6, 5)}}{{C(10, 5)}} = \frac{{6}}{{252}}\]

2. \(X = 1\) - один компьютер имеет дефект.
Вероятность этого события можно рассчитать как произведение вероятности выбрать 1 компьютер с дефектом из 4 доступных и 4 компьютеров без дефектов из 6 доступных, в сочетании из 4 и 3 соответственно, деленное на общее количество возможных сочетаний 5 компьютеров из 10:
\[P(X = 1) = \frac{{C(4, 1) \cdot C(6, 4)}}{{C(10, 5)}} = \frac{{24}}{{252}}\]

3. \(X = 2\) - два компьютера имеют дефекты.
Вероятность этого события можно рассчитать аналогично предыдущему:
\[P(X = 2) = \frac{{C(4, 2) \cdot C(6, 3)}}{{C(10, 5)}} = \frac{{60}}{{252}}\]

4. \(X = 3\) - три компьютера имеют дефекты.
Вероятность этого события:
\[P(X = 3) = \frac{{C(4, 3) \cdot C(6, 2)}}{{C(10, 5)}} = \frac{{40}}{{252}}\]

5. \(X = 4\) - все пять компьютеров имеют дефекты.
Вероятность этого события:
\[P(X = 4) = \frac{{C(4, 4) \cdot C(6, 1)}}{{C(10, 5)}} = \frac{{6}}{{252}}\]

Теперь построим функцию распределения, которая покажет вероятность получения каждого возможного значения случайной величины \(X\):

\[
\begin{align*}
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{если } x < 0 \\
\frac{{6}}{{252}} & \text{если } 0 \leq x < 1 \\
\frac{{30}}{{252}} & \text{если } 1 \leq x < 2 \\
\frac{{90}}{{252}} & \text{если } 2 \leq x < 3 \\
\frac{{130}}{{252}} & \text{если } 3 \leq x < 4 \\
1 & \text{если } x \geq 4 \\
\end{cases}
\end{align*}
\]

Следующим шагом является построение графика функции распределения, который поможет нам визуализировать вероятности значений. На графике по оси X будет отложено количество компьютеров с дефектами, а по оси Y - вероятность этого количества.

\[ График \]

Наконец, чтобы найти математическое ожидание общей средней стоимости ремонта, нам необходимо вычислить сумму произведений каждого возможного значения \(X\) на соответствующую вероятность этого значения:

\[
\begin{align*}
E(X) &= 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) \\
&= 0 \cdot \frac{{6}}{{252}} + 1 \cdot \frac{{24}}{{252}} + 2 \cdot \frac{{60}}{{252}} + 3 \cdot \frac{{40}}{{252}} + 4 \cdot \frac{{6}}{{252}} \\
&= \frac{{24 + 120 + 120 + 24}}{{252}} \\
&= \frac{{288}}{{252}} \\
&= \frac{{8}}{{7}}
\end{align*}
\]

Итак, ожидаемая стоимость общего среднего ремонта равна \(\frac{{8}}{{7}}\) долларов.