Тема контрольной работы № 5: Линейные и квадратичные функции. Обратная пропорциональность. Вариант 1. 1. Создайте

Контрольная работа № 5: Линейные и квадратичные функции. Обратная пропорциональность. Вариант 1.

1. а) Для функции \(y = -3x\) создадим график. Для этого выберем несколько значений переменной \(x\) и найдем соответствующие им значения функции \(y\). Построим график, откладывая значения на координатной плоскости.

Таблица значений:
\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
-2 & \quad 6 \\
-1 & \quad 3 \\
0 & \quad 0 \\
1 & \quad -3 \\
2 & \quad -6 \\
\end{align*}
\]

График функции выглядит так:

\[Тут будет график с отмеченными точками и прямой линией, иллюстрирующей функцию у = -3х\]

Функция \(y = -3x\) является убывающей на всем множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\), так как при увеличении значения переменной \(x\) значения функции \(y\) убывают.

б) Для функции \(y = 2x - 2\) создадим график. Аналогично выберем несколько значений переменной \(x\) и найдем соответствующие значения функции \(y\). Построим график на координатной плоскости.

Таблица значений:
\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
-2 & \quad -6 \\
-1 & \quad -4 \\
0 & \quad -2 \\
1 & \quad 0 \\
2 & \quad 2 \\
\end{align*}
\]

График функции выглядит следующим образом:

\[Тут будет график с отмеченными точками и прямой линией, иллюстрирующей функцию у = 2х - 2\]

Функция \(y = 2x - 2\) является возрастающей на всем множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\), так как при увеличении значения переменной \(x\) значения функции \(y\) также увеличиваются.

2. а) Для функции \(y = -2x^2\) создадим график. Построим таблицу значений, выбрав несколько значений переменной \(x\) и вычислив соответствующие значения функции \(y\). Затем отобразим эти точки на координатной плоскости.

Таблица значений:
\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
-2 & \quad -8 \\
-1 & \quad -2 \\
0 & \quad 0 \\
1 & \quad -2 \\
2 & \quad -8 \\
\end{align*}
\]

График функции будет иметь форму параболы, направленной вниз:

\[Тут будет график с отмеченными точками и параболой, иллюстрирующей функцию у = -2х^2\]

Функция \(y = -2x^2\) имеет интервалы убывания на множестве \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\), а интервал возрастания на множестве \(x \in (-1, 1)\).

Для нахождения значений \(x\), при которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения, можно воспользоваться вершиной параболы. В данном случае парабола направлена вниз, поэтому вершина будет являться точкой максимума.
Для \(y = -2x^2\) вершина находится при \(x = 0\), значит функция достигает наибольшего значения \(y = 0\).

б) Для функции \(y = (x + 2)^2 - 2\) создаем график. Точки будут найдены по аналогии с предыдущим графиком.

Таблица значений:
\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
-2 & \quad 0 \\
-1 & \quad 0 \\
0 & \quad -2 \\
1 & \quad 0 \\
2 & \quad 4 \\
\end{align*}
\]

График функции будет изображать параболу, открытую вверх:

\[Тут будет график с отмеченными точками и параболой, иллюстрирующей функцию у = (х + 2)^2 - 2\]

Функция \(y = (x + 2)^2 - 2\) имеет интервал убывания на множестве \(x \in (-\infty, -2)\), а интервал возрастания на множестве \(x \in (-2, +\infty)\).

Для нахождения значения \(x\), при котором функция достигает наибольшего значения, можем воспользоваться вершиной параболы. В данном случае парабола направлена вверх, поэтому вершина будет являться точкой минимума. Для \(y = (x + 2)^2 - 2\) вершина находится при \(x = -2\), значит функция достигает наименьшего значения \(y = -2\).

3. График функции пройдет через точки \(A(0, -3)\) и \(B(2, 1)\). Чтобы найти значения \(k\) и \(b\), используем уравнение функции \(y = kx + b\) и подставим координаты точек:

Для точки \(A(0, -3)\):
\[
-3 = k\cdot0 + b
\]
\[
b = -3
\]

Для точки \(B(2, 1)\):
\[
1 = k\cdot2 + (-3)
\]
\[
k = \frac{1 + 3}{2} = 2
\]

Итак, значения \(k = 2\) и \(b = -3\).

4. Для функции \(y = x^2 - 6x + 5\) создаем график. Построим таблицу значений, выбирая несколько значений переменной \(x\) и вычислим соответствующие значения функции \(y\). Затем определим, как график выглядит на координатной плоскости.

Таблица значений:
\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
0 & \quad 5 \\
1 & \quad 0 \\
2 & \quad -1 \\
3 & \quad 2 \\
4 & \quad 5 \\
\end{align*}
\]

График функции будет представлять собой параболу, открытую вверх:

\[Тут будет график с отмеченными точками и параболой, иллюстрирующей функцию у = x^2 - 6x + 5\]

Теперь мы можем ответить на вопросы о функции:

- Является ли функция возрастающей или убывающей на множестве \(\mathbb{R}\)?

Функция \(y = x^2 - 6x + 5\) представляет собой параболу, открытую вверх. Это означает, что функция будет возрастать на интервале \((- \infty, 3]\) и убывать на интервале \([3, +\infty)\).

- Значения \(x\), при которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения?

Чтобы найти точки наименьшего и наибольшего значения, нам нужно найти вершину параболы. Вершина параболы может быть найдена с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\), где коэффициенты \(a\) и \(b\) соответствуют квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\).

В данном случае, для функции \(y = x^2 - 6x + 5\), коэффициенты \(a = 1\) и \(b = -6\).

\[x = -\frac{-6}{2\cdot1} = 3\]

Таким образом, функция достигает наибольшего значения при \(x = 3\), а наименьшего значения при \(x = 3\).

Желаю успехов в решении задач! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать.