Тема: использование формулы для вычисления расстояния между точками и координат средней точки отрезка. 1. Даны

Решение:

1. Для нахождения длины отрезка DК (медианы треугольника ∆ CDE) мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Дано, что D(1; -2; 5) и К(-3; 4; 2) - это координаты точек D и K соответственно.

Формула для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставляем значения координат точек D и K:
\[d = \sqrt{{(1 - (-3))^2 + (-2 - 4)^2 + (5 - 2)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(4)^2 + (-6)^2 + (3)^2}}\]
\[d = \sqrt{{16 + 36 + 9}}\]
\[d = \sqrt{{61}}\]

Таким образом, длина отрезка DК равна \(\sqrt{{61}}\).

Результат получился в виде корня, поэтому правильный ответ на задачу будет вариант б) в корне 61.

2. Чтобы доказать, что четырехугольник КМРТ является прямоугольником, нам нужно использовать свойства прямоугольников и проверить, выполняются ли они для данного четырехугольника.

Свойства прямоугольника:
- Противоположные стороны параллельны и равны по длине.
- Диагонали равны между собой и пересекаются в точке равноудаленной от вершин.
- Углы прямые.

У нас есть координаты точек К(0; -6; 0), М(1; 0; 1), Р(0; 0; 2), Т(-1.

Шаги для проверки:

1) Найдем векторы сторон четырехугольника:
\(\overrightarrow{KM} = (1 - 0, 0 - (-6), 1 - 0) = (1, 6, 1)\)
\(\overrightarrow{MR} = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 1) = (-1, 0, 1)\)
\(\overrightarrow{RT} = (-1 - 0, -6 - 0, 1 - 2) = (-1, -6, -1)\)
\(\overrightarrow{TK} = (0 - (-1), -6 - 0, 0 - 1) = (1, -6, -1)\)

2) Проверим, являются ли противоположные стороны параллельными и равными по длине:
\(\overrightarrow{KM} = -\overrightarrow{RT}\) и \(\overrightarrow{MR} = -\overrightarrow{TK}\)
Сначала проверим \(\overrightarrow{KM} = -\overrightarrow{RT}\):
(1, 6, 1) = -(-1, -6, -1)
Сравнивая координаты, видим, что они равны.
Теперь проверим \(\overrightarrow{MR} = -\overrightarrow{TK}\):
(-1, 0, 1) = -(1, -6, -1)
Вновь, сравнивая координаты, видим, что они равны.

3) Проверим, пересекаются ли диагонали в точке равноудаленной от вершин.
Для этого найдем координаты середины диагонали КР и середины диагонали МТ:
\(S_{KR} = \left(\frac{{0 + 0}}{2}, \frac{{-6 + 0}}{2}, \frac{{0 + 2}}{2}\right) = (0, -3, 1)\)
\(S_{MT} = \left(\frac{{1 + (-1)}}{2}, \frac{{0 + (-6)}}{2}, \frac{{1 + (-1)}}{2}\right) = (0, -3, 0)\)
Координаты середин диагоналей совпали, и они равноудалены от вершин.

4) Проверим, являются ли углы прямыми. Для этого проверим произведение смежных сторон на противоположные векторы:
\(\overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{MR} = 0\) (произведение равно нулю, значит, угол прямой).
\(\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{RT} = 0\) (произведение равно нулю, значит, угол прямой).
\(\overrightarrow{RT} \cdot \overrightarrow{TK} = 0\) (произведение равно нулю, значит, угол прямой).
\(\overrightarrow{TK} \cdot \overrightarrow{KM} = 0\) (произведение равно нулю, значит, угол прямой).

Таким образом, все свойства прямоугольника выполняются для четырехугольника КМРТ. Мы доказали, что четырехугольник КМРТ является прямоугольником.