Создайте правильную шестиугольную призму abcdefa1b1c1d1e1f1. l - середина ребра cd. Найдите плоскость, параллельную

Шестигранная призма abcdefa1b1c1d1e1f1 имеет особенность: все её боковые грани — правильные пятиугольники.

Для решения этой задачи мы должны найти плоскость, параллельную плоскости cff1 и проходящую через точку l. Для начала, давайте разберемся, как найти эту плоскость.

Плоскость cff1 параллельна основанию abcdefa1b1 и перпендикулярна ребру cf. Значит, вектор нормали этой плоскости будет перпендикулярен векторам, лежащим в плоскости abcdefa1b1, и параллелен вектору (cf).

Так как плоскость abcdefa1b1 — правильный пятиугольник, то её вершины можно обозначить следующим образом:
\[a(0, 0, 0), \quad b(x_1, y_1, z_1), \quad c(x_2, y_2, z_2), \quad d(x_3, y_3, z_3), \quad e(x_4, y_4, z_4), \quad f(x_5, y_5, z_5),\]
\[a_1(x_6, y_6, z_6), \quad b_1(x_7, y_7, z_7), \quad c_1(x_8, y_8, z_8), \quad d_1(x_9, y_9, z_9), \quad e_1(x_{10}, y_{10}, z_{10}), \quad f_1(x_{11}, y_{11}, z_{11}).\]

Теперь посмотрим на ребро cf. Зная, что \(l\) — середина ребра cd, можно определить координаты точки \(l\):
\[l = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2}\right).\]

Теперь мы можем записать вектор, лежащий в плоскости cff1:
\[\vec{v_1} = \vec{a_1b_1} = \vec{b_1} - \vec{a_1} = \left(x_7-x_6, y_7-y_6, z_7-z_6\right).\]

Также, имея вектор (cf), можем записать ещё один вектор, лежащий в плоскости cff1:
\[\vec{v_2} = \vec{cf} = \vec{f} - \vec{c} = \left(x_5-x_2, y_5-y_2, z_5-z_2\right).\]

Теперь, чтобы найти вектор нормали плоскости, мы можем взять векторное произведение векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\):
\[\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_7-x_6 & y_7-y_6 & z_7-z_6 \\ x_5-x_2 & y_5-y_2 & z_5-z_2 \\ \end{vmatrix}.\]

Получив вектор нормали плоскости, мы можем записать уравнение плоскости в общем виде. Положим координаты точки \(l\) равными \(x_2\) и \(y_2\) и выразим \(z\) из уравнения плоскости, подставив значения:
\[z = -\frac{\vec{n} \cdot \vec{l}}{\vec{n} \cdot \vec{v_2}}.\]

Теперь мы можем найти периметр полученного сечения нашей призмы. Так как это шестиугольник, нужно найти длины его сторон.

Поскольку мы знаем, что \(cf = 16\) и \(bb_1 = 6\), можем найти длины оставшихся сторон. Обозначим их: \(aa_1\), \(dd_1\), \(ee_1\) и \(ff_1\).

Для нахождения длины стороны \(aa_1\) посмотрим на ребро ae. Зная координаты точек a и e, можем записать вектор:
\[\vec{v_3} = \vec{ae} = \vec{e} - \vec{a} = \left(x_4-x_1, y_4-y_1, z_4-z_1\right).\]

Теперь можем найти длину вектора \(\vec{v_3}\):
\[|aa_1| = |\vec{v_3}| = \sqrt{(x_4-x_1)^2 + (y_4-y_1)^2 + (z_4-z_1)^2}.\]

Аналогично, длины сторон \(dd_1\), \(ee_1\) и \(ff_1\) можно найти, рассматривая векторы \(\vec{v_4} = \vec{dd_1}\), \(\vec{v_5} = \vec{ee_1}\) и \(\vec{v_6} = \vec{ff_1}\):
\[|dd_1| = |\vec{v_4}| = \sqrt{(x_9-x_3)^2 + (y_9-y_3)^2 + (z_9-z_3)^2},\]
\[|ee_1| = |\vec{v_5}| = \sqrt{(x_{10}-x_4)^2 + (y_{10}-y_4)^2 + (z_{10}-z_4)^2},\]
\[|ff_1| = |\vec{v_6}| = \sqrt{(x_{11}-x_5)^2 + (y_{11}-y_5)^2 + (z_{11}-z_5)^2}.\]

Теперь, когда мы нашли длины всех сторон полученного шестиугольника, можем найти его периметр:
\[P = |aa_1| + |a_1b_1| + |b_1c_1| + |c_1d_1| + |d_1e_1| + |e_1f_1| + |ff_1| + |f_1e_1| + |e_1d_1| + |d_1c_1| + |c_1b_1| + |b_1a_1|.\]

Теперь, чтобы сделать задачу более понятной школьнику, предоставим рисунок шестиугольника.