1. Яка з наведених точок приналежить площині ху? а) М(-1;6;2); б) К(0;3;-9); в) Р(0;0;-2); г) С(5;0;9); д) В(4;-5;0

1. Чтобы определить, какие из заданных точек принадлежат плоскости ХУ, мы можем использовать уравнение плоскости. Уравнение плоскости задается в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B и C - это коэффициенты плоскости, а x, y и z - координаты точки на плоскости.

Для плоскости ХУ у нас имеем \(A = 0, B = 1, C = 0\) (так как плоскость параллельна оси X и пересекает ось Y), поэтому уравнение будет иметь вид \(y + D = 0\).

1.a) Для точки М(-1;6;2) координата y равна 6. Подставим ее в уравнение плоскости: \(6 + D = 0\). Решая это уравнение, мы получаем, что D = -6. Точка М принадлежит плоскости ХУ.

1.б) Для точки К(0;3;-9) координата y равна 3. Подставим ее в уравнение плоскости: \(3 + D = 0\). Решая это уравнение, мы получаем, что D = -3. Точка К принадлежит плоскости ХУ.

1.в) Для точки Р(0;0;-2) координата y равна 0. Подставим ее в уравнение плоскости: \(0 + D = 0\). Решая это уравнение, мы получаем, что D = 0. Точка Р принадлежит плоскости ХУ.

1.г) Для точки С(5;0;9) координата y равна 0. Подставим ее в уравнение плоскости: \(0 + D = 0\). Решая это уравнение, мы получаем, что D = 0. Точка С принадлежит плоскости ХУ.

1.д) Для точки В(4;-5;0) координата y равна -5. Подставим ее в уравнение плоскости: \(-5 + D = 0\). Решая это уравнение, мы получаем, что D = 5. Точка В не принадлежит плоскости ХУ.

Итак, точки М, К, Р и С принадлежат плоскости ХУ, а точка В не принадлежит.

2. Чтобы найти середину отрезка АВ, мы можем использовать формулу середины отрезка. Координаты середины отрезка могут быть найдены путем среднего значения координат точек A и B по каждой оси.

Формула для нахождения координат середины отрезка: \(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right)\)

2.a) Подставим координаты A(3;-1;1) и B(1;-5;1) в формулу:

\(\left(\frac{{3 + 1}}{2}, \frac{{-1 + -5}}{2}, \frac{{1 + 1}}{2}\right)\)

Раскрывая скобки и упрощая, получаем: (2, -3, 1)

Точка (2, -3, 1) является серединой отрезка АВ.

3. Для нахождения симметричной точки А(-5;3;-2) относительно начала координат, мы можем инвертировать знаки всех координат точки А.

3.a) Инвертируем знаки координат А(-5;3;-2):

\((-(-5), -(3), -(-2)) = (5, -3, 2)\)

Точка (5, -3, 2) является симметричной точкой А(-5;3;-2) относительно начала координат.

4. Чтобы найти координаты вектора АВ, мы можем вычислить разность между соответствующими координатами точек А и В. Координаты разности будут координатами вектора.

4.a) Вычислим разность координат x, y и z для точек А(3;-5;0) и В(-2;7;1):

\(x_{AB} = 3 - (-2) = 5\)

\(y_{AB} = -5 - 7 = -12\)

\(z_{AB} = 0 - 1 = -1\)

Таким образом, координаты вектора АВ равны (5, -12, -1).

5. Чтобы найти длину вектора, мы можем использовать формулу длины вектора в трехмерном пространстве. Длина вектора в трехмерном пространстве может быть рассчитана по формуле:

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\), где \(v_x, v_y, v_z\) - это компоненты вектора.

5.а) Для вектора а(5;2;1):

\(|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{30}\)

Таким образом, длина вектора а равна \(\sqrt{30}\).

5.б) Для вектора b(0;-3;2):

\(|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13}\)

Таким образом, длина вектора b равна \(\sqrt{13}\).

Ответы:
1.а) Точка М(-1;6;2) принадлежит плоскости ХУ.
1.б) Точка К(0;3;-9) принадлежит плоскости ХУ.
1.в) Точка Р(0;0;-2) принадлежит плоскости ХУ.
1.г) Точка С(5;0;9) принадлежит плоскости ХУ.
1.д) Точка В(4;-5;0) не принадлежит плоскости ХУ.

2. Серединой отрезка АВ с координатами A(3;-1;1) и B(1;-5;1) является точка (2,-3,1).

3. Симметричной точкой А(-5;3;-2) относительно начала координат является точка (5,-3,2).

4. Координаты вектора АВ между точками А(3;-5;0) и B(-2;7;1) равны (5,-12,-1).

5.а) Длина вектора а(5;2;1) равна \(\sqrt{30}\).
5.б) Длина вектора b(0;-3;2) равна \(\sqrt{13}\).