Создайте диаграмму и опишите характеристики функции (14.13-14.17): 14.13. 1) f(x) = -х²

Хорошо, чтобы создать диаграмму и описать характеристики функции \(f(x) = -x^2\), давайте последовательно выполним следующие шаги:

Шаг 1: Построение диаграммы функции.
Для начала, нарисуем координатную плоскость. На оси абсцисс будут отложены значения \(x\), а на оси ординат - значения \(f(x)\). Для создания диаграммы, выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(f(x)\).

Выберем, например, значения \(x = -2, -1, 0, 1, 2\) и найдем соответствующие значения \(f(x)\). Подставляя эти значения в функцию \(f(x) = -x^2\), получаем:

При \(x = -2\): \(f(-2) = -(-2)^2 = -4\);
При \(x = -1\): \(f(-1) = -(-1)^2 = -1\);
При \(x = 0\): \(f(0) = -(0)^2 = 0\);
При \(x = 1\): \(f(1) = -(1)^2 = -1\);
При \(x = 2\): \(f(2) = -(2)^2 = -4\).

Таким образом, мы получили следующие координаты точек: \((-2, -4)\), \((-1, -1)\), \((0, 0)\), \((1, -1)\), \((2, -4)\).

Теперь, соединим эти точки на диаграмме и получим параболу, которая будет выглядеть ветвями вниз.

Шаг 2: Описание характеристик функции.
а) Знак функции: Из графика видно, что парабола направлена вниз, а значит, функция \(f(x) = -x^2\) всегда будет отрицательной для любого значения \(x\).

б) Вершина параболы: Парабола имеет вершину, которая находится в точке \((0, 0)\). Координаты вершины можно вычислить с помощью формулы \(x = \frac{-b}{2a}\) и подставив значения из исходной функции, получим \(x = \frac{0}{-2\cdot 1} = 0\). Значение \(f(0) = 0\) также подтверждает координаты вершины.

в) Отрезок возрастания и убывания: Поскольку парабола направлена вниз, то функция \(f(x) = -x^2\) будет убывать при \(x\) бегущем от \(-\infty\) до 0 и возрастать при \(x\) бегущем от 0 до \(+\infty\).

г) Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение \(f(x) = -x^2 = 0\). Разложим его на множители: \(-x^2 = 0 \Rightarrow x\cdot x = 0 \Rightarrow x = 0\). То есть, нулевое значение функции находится в точке \((0, 0)\).

д) Симметрия: Функция \(f(x) = -x^2\) является четной функцией, так как удовлетворяет условию \(f(-x) = f(x)\). Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат.

э) Центр симметрии: Центром симметрии является вершина параболы, а значит, она находится в точке \((0, 0)\).

Итак, мы построили диаграмму функции \(f(x) = -x^2\) и подробно описали ее характеристики. Данные характеристики позволяют нам лучше понять, как функция выглядит и ведет себя на координатной плоскости.