составьте уравнение касательной линии графика функции y=2x²-3 в точке с координатой у: а) y0=1; б) y0=-3

Хорошо, давайте решим поставленную задачу. Мы должны составить уравнение касательной линии графика функции \(y = 2x^2 - 3\) в заданных точках.

а) Для начала рассмотрим точку А с координатой \(y_0 = 1\). Чтобы составить уравнение касательной линии в этой точке, нам понадобится найти производную функции \(y\) по переменной \(x\) и подставить значения \(x_0\) и \(y_0\) в полученное уравнение.

Итак, начнем с нахождения производной функции \(y\). Производная функции \(y = 2x^2 - 3\) по переменной \(x\) будет равна:

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = 4x \]

Теперь, чтобы найти уравнение касательной линии в точке А, мы должны подставить \(x_0\) и \(y_0\) в полученное уравнение:

\[ \frac{{dy}}{{dx}} \Bigr|_{x=x_0} = 4x_0 \]
\[ 4x_0 = 1 \]

Таким образом, в точке А касательная линия имеет угловой коэффициент \(m = 4 \cdot 1 = 4\).

После того, как мы нашли угловой коэффициент касательной линии, мы можем использовать полученное значение и заданную точку для составления уравнения прямой в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(b\) - точка пересечения линии с осью \(y\).

Так как мы уже знаем, что \(m = 4\) и точка А имеет координаты \((x_0, y_0) = (x_0, 1)\), мы можем записать уравнение касательной линии следующим образом:

\[ y = 4x + b \]

Теперь, чтобы найти значение \(b\), мы подставляем известные координаты точки А в уравнение:

\[ 1 = 4x_0 + b \]

Отсюда мы можем выразить \(b\):

\[ b = 1 - 4x_0 \]

Итак, уравнение касательной линии в точке А будет иметь вид:

\[ y = 4x + (1 - 4x_0) \]

б) Теперь рассмотрим точку B с координатой \(y_0 = -3\). Процедура составления уравнения касательной линии будет аналогичной, только мы заменим \(y_0\) на -3 в соответствующих шагах.

Мы начинаем с нахождения производной функции \(y\) по переменной \(x\):

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = 4x \]

Затем мы подставляем \(x_0\) и \(y_0\) в уравнение производной:

\[ 4x_0 = -3 \]

Таким образом, в точке B касательная линия имеет угловой коэффициент \(m = 4 \cdot x_0 = -3\).

Мы уже знаем, что \(m = -3\) и точка B имеет координаты \((x_0, y_0) = (x_0, -3)\), поэтому мы можем записать уравнение касательной линии так:

\[ y = -3x + b \]

Теперь мы подставляем координаты точки B в уравнение и находим значение \(b\):

\[ -3 = -3x_0 + b \]

Отсюда мы можем выразить \(b\):

\[ b = -3 + 3x_0 \]

В итоге, уравнение касательной линии в точке B будет иметь вид:

\[ y = -3x + (-3 + 3x_0) \]

Это и есть искомые уравнения касательных линий в точках А и B для заданной функции \(y = 2x^2 - 3\).